集合

基本概念¶

不严格定义的概念¶

集合¶

作为整体研究的一堆东西，用大写字母 A, B, C, ⋯ 表示

元素¶

集合这一堆东西中的每一个，用小写字母 a, b, c, ⋯ 表示

属于¶

元素与集合间的关系

元素 a 属于集合 A ，记为 \(a\in A\)
a 不属于 A，记为 \(a\notin A\)

Info

元素与集合间的属于关系也称为成员关系，元素是集合的成员

全集¶

研究范围内的所有东西，记为 U

用逻辑语言严格定义的概念¶

子集关系¶

\[ A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x(x\in A \to x\in B) \]

集合相等¶

\[ A = B \Leftrightarrow \forall x(x\in A \Leftrightarrow x\in B) \]

或者

\[ A=B \Leftrightarrow A\subseteq B \land B \subseteq A \]

空集¶

\[ \forall x(x\notin \varnothing) \]

朴素集合论¶

外延原则¶

两个集合只要有完全相同的元素则是相等的集合，不考虑集合名字本身的内涵

概念(名字)的外延¶

概念(名字)的外延是它所指称的对象，内涵是它有区别于其他概念的属性全体

集合(名字)的外延¶

对于集合(名字)，外延是它包含的所有元素，内涵则视具体的应用而定

定义集合的方法¶

元素枚举法¶

将集合的所有元素一一罗列出来

适合元素比较少，或可按明显规律罗列元素时定义集合
元素罗列规律明显时可使用省略号

性质概括法¶

用谓词概括一个集合的所有元素满足的共同性质

基本形式¶

\[ A = \{x∣P(x)\} \]

含义是:

\[ \forall x(x\in A \Leftrightarrow P(x)) \]

Warning

允许 P 是任意性质时有可能产生悖论：罗素悖论

公理集合论运用子集分离原则避免悖论：

\[ A=\{x\in B∣P(x)\} \]

B 是已知的大集合

扩展形式¶

\[ A=\{f(y)∣P(y)\} \]

含义是

\[ \forall x(x\in A↔∃y(x=f(y)∧P(y))) \]

这里 f 是一个函数，或说 f(x) 是含有自由变量 x 的表达式

归纳定义法¶

给出基本元素和从已有元素构造其他元素的规则

从某种意义上说，集合的归纳定义给出了构造集合元素的算法

集合的划分 (partition)¶

定义¶

设 A 是非空集合，F 是集合族，其中每个集合都是 A 的子集。说集合族 F 是 A 的划分，如果：

非空: 对任意的 \(S\in \mathcal{F}\) , \(S\neq\mathcal{F}\)
两两不交: 对任意两个集合 \(S_1, S_2\in F\) , \(S_1\cap S_2=\varnothing\)
覆盖集合 A：\(\cup \mathcal{F}= A\)

非空集合 A 的划分 \(\mathcal{F}\) 中的每个集合称为这个划分的一个 划分块(block)

非空集合 A 上的等价关系与它的划分有一一对应关系¶

A 关于一个等价关系的商集是 A 的划分，而 A 的一个划分导出的“在同一划分块”关系是等价关系

进一步，A 关于“在同一划分块”这个等价关系的商集就是这个划分，而 A 关于等价关系的商集作为 A 的划分所导出的“在同一划分块”关系就是这个等价关系本身

常用集合¶

模 m 剩余类¶

是一种常用等价类

对任意整数 \(a\in \mathbb{Z}\) , a 在 R 下的等价类 \([a]_R\)称为整数集 \(\mathbb Z\)的一个（与 a 同余的）模 m 剩余类，并记为:

\[ \overline{a}=\{x\in \mathbb Z ∣ x ≡ a(\mod m) \}=\{x\in \mathbb Z∣m∣x-a\}=\{a+mz∣z\in \mathbb Z \} \]

模 m 剩余类的商集¶

\[ \mathbb{Z}_m = \{ \overline 0,\overline 1,...,\overline{m-1} \} = \{ 0,1,...,m-1 \} \]

有序对¶

集合论定义的有序对

从二元有序对开始定义，归纳定义 n 元有序对

二元有序对¶

\[ <a,b>=\{\{a\},\{a,b\}\}\\ <b,a>=\{\{b\},\{a,b\}\} \]

三元有序对¶

\[ <a,b,c>=<<a,b>,c> \]

n 元有序对¶

\[ <a_1,a_2,...a_n>=<<a_1,a_2,...,a_{n-1}>,a_n> \]

有序 n 元组性质定理¶

\[ <a_1,a_2,...a_n>=<b_1,b_2,...b_n> \Leftrightarrow a_i=b_i \ ,\ i=1,2,3,...,n \]