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离散数学基础:函数

函数

函数

(全函数)

描述

集合A到B的函数,是A×笛卡尔积的一类子集集合A到A的函数也称为A上的函数定义域的每个元素都存在陪域的唯一元素与之对应

记号

f:AB

定义

fP(A×B) or fA×B,aA, !bB, <a,b>∈f

b是a在函数f下的像

原像

a是b在函数f下的原像

定义域 or 域

A

陪域

B

像集

描述

A的子集S在f下的像集,是f的陪域B的子集

记号

f(S)

定义

f(S)={f(x)B|xS}={yB|xS,y=f(x)}B

值域

f(A)=\boldsymbolran(f)

逆像集

描述

B的子集T在f下的逆像集,是f的域A的子集

记号

f1(T)

定义

f1(T)={xA|f(x)T}A

恒等函数

描述

任意非空集A上的恒等关系ΔA是A的恒等函数来自恒等关系

记号

\boldsymbolidA=ΔA

定义

f1(T)={xA|f(x)T}A

空函数

描述

以空集为定义域的函数都是空函数,当函数陪域为空集时定义域也只能是空集,从而函数也是空函数,否则不满足函数定义来自空关系

定义

f:AB,A=f是空函数B=A=f是空函数

特征函数

描述

子集S的特征函数是全集U的任意子集S到\boldsymbol2={\boldsymbol0,\boldsymbol1}的函数

记号

χs:U\boldsymbol2

定义

χs(x)={\boldsymbol1\boldsymbol0xSxS

自然映射

描述

R是非空集A上的等价关系,商集A/R的自然映射是A到A/R的函数,将A的任意元素a映射到它所在的等价类[a]R

记号

ρ:AA/R

定义

ρ(a)=[a]R

函数集

(函数族)

描述

所有从集合A到集合B的函数的集合

记号

BA

偏函数

描述

记号

f:AB

定义

fP(A×B) or fA×B,  aA,(!bB, <a,b>∈f)(!bB, <a,b>∈f)

备注

本门课程里的函数默认是全函数

单函数

(一对一函数)

描述

陪域的每个元素至多存在定义域的一个元素与之对应

定义

x,yA,  xyf(x)f(y)
x,yA,  f(x)=f(y)x=y
f存在左逆

满函数

(映上函数)

描述

陪域的每个元素至少存在定义域的一个元素与之对应

定义

\boldsymbolran(f)=B
yB,  xA,  f(x)=y
f存在右逆

双函数

(一一对应)

描述

陪域的每个元素都有定义域唯一一个元素与之对应

定义

f既是单函数又是满函数
f:AB是双函数g:BA , gf=\boldsymbolidA , fg=\boldsymbolidBf1,f1f=\boldsymbolidA , ff1=\boldsymbolidB

函数的复合

描述

函数f:ABg:BC的复合与关系的复合是一致的,是二元运算

记号

(gf)(x)=g(f(x))

定义

(gf)(x)=g(f(x))
gf={<x,y>|z(<x,z>∈f<z,y>∈g)}={<x,y>|z(f(x)=zg(z)=y)}={<x,y>|g(f(x))=y}

性质

关系复合满足结合律
fg是单函数gf是单函数f是单函数
fg是满函数gf是满函数g是满函数
fg是双函数gf是双函数f是单函数且g是满函数

逆函数

描述

双函数f作为关系的逆关系f1f的逆函数

定义

f1={<y,x>∈B×A|<x,y>∈f}={<y,x>|f(x)=y}
f1:BA是双函数f的逆函数f1f=\boldsymbolidA , ff1=\boldsymbolidB

左逆

描述

g:BA是函数f的左逆,满足:

定义

gf=\boldsymbolidA

左逆

描述

g:BA是函数f的右逆,满足:

定义

fg=\boldsymbolidB