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离散数学基础:代数系统

思维导图

代数系统

二元运算

封闭性

定义

f:S×SSSSf
TSSt1,t2T(f(t1,t2)T)TSf

经典例子

P(A×B)×P(C×D)P(A×D)A=B=C=DP(A×A)×P(A×A)P(A×A)
AAAAP(A×A)

特殊元

左单位元

elxS,elx=x

右单位元

erxS,xer=x

单位元

(幺元)

exS,xe=ex=x
  • 左逆元 (左逆)

-

ylx()ylx=ex
  • 右逆元 (右逆)

-

yrx()xyr=ex
  • 逆元 (逆)

-

yx()yxxx
  • 性质

  • 单位元若存在一定是唯一的

  • 若满足结合律,且单位元存在,则可逆元素有唯一逆元

左零元

θlxS,θlx=θl

左零元

θrxS,xθr=θr

零元

θxS,xθ=θx=θ

幂等元

xx=x

二元运算性质

交换律

  • 描述

-

S
  • 定义

-

x,yS,   xy=yx

结合律

  • 描述

-

S
  • 定义

-

x,y,zS,   (xy)z=x(yx)
  • 满足结合律的运算的指数运算(幂运算)

  • 定义

    -

xn=xx...x
xn={xxn1xn=1n>1
  • 性质
xnxm=xn+m
(xn)xm=xnm

幂等律

  • 定义

-

SxS,xx=xS

分配律

  • 描述

-

  • 定义

-

x,y,zS , x(yz)=(xy)(xz)(yz)x=(yx)(zx)

吸收律

  • 描述

-

  • 定义

-

x,yS , x(xy)=xx(xy)=x
  • 典例

-

消去律

  • 定义

-

x,y,zS , xxy=xzy=zyx=zxy=z
  • 典例

-

定义

  • 一个群包含

-

e
e
()1
()1
  • 一个独异点包含

-

e
e
  • 一个半 群包含

-

性质

  • 群有唯一单位元,没有零元,且所有元素有唯一逆元
  • 群的二元运算满足消去律

阿贝尔群

(可交换群)

群的阶

  • 群的元素个数

群元素的阶

anan={ean1a(a1)|n|n=0n>0n<0a|a|使ak=ekka
  • 性质

-

am=en|m,  mZ
(a1)k=(ak)1, kN
|a1|=|a|
|a|=|am|gcd(|a|,m),  mZ

模 m 单位群

定义

Zm={0,1,2,...,m1}U(m)ZmmUm={aZm|gcd(a,m)=1}mUm

正规子群

or 不变子群

定义

HGaG, Ha=aH

平凡正规子群

G{e}
G

单群

GG{e}

正规子群

经典例子

  • 交换群

-

A
  • 只有 2 个 相异陪集

-

商群

描述

GH

定义

NGNG/NG/Na,bG,  NaNb=NabG/N,N

群同态

描述

GGff:GG

定义

a,bG,   f(ab)=f(a)f(b)

自同态

Gf:GG

满同态

f

单同态

f

同构

f
GG