环

环的相关定义¶

设 $R$ 是非空集合，如果在 $R$ 上定义了两个二元运算 “ $+$ ”（称为加法）和 “ $\cdot$ ”（称为乘法），且满足：

（1） $R$ 关于加法 $+$ 构成交换群（即加群）
（2） $R$ 关于乘法 $\cdot$ 构成半群，即乘法满足结合律： $\forall a, b, c \in R, a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ ；
（3） 乘法 $\cdot$ 对加法有左右分配律：

\forall a, b, c \in R a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a

则称代数 $(R, +, \cdot)$ 是环（ring）。在通过上下文能明确运算时，通常直接称 $R$ 为环。

Abstract

有教材要求环乘法必须有单位元，也有教材要求环乘法必须满足交换律等

对环 $(R, +, \cdot)$ ， $(R, +)$ 是交换群，称为环 $R$ 的加法群，其单位元通常用 0 表示，称为环 $R$ 的零元，元素 $a$ 的加法逆元记为 $- a$ ，称为 $a$ 的负元。

通过负元引入环的减法，即 $a - b$ 定义为 $a + (- b)$ 。

环乘法是否满足交换律
若环 $R$ 的乘法也满足交换律，则称为交换环 (commutative ring)
是否有单位元
若环 $R$ 的乘法有单位元，则称为有单位元环，环乘法的单位元通常记为 $e$ 或 $1$ ，并称为环 $R$ 的单位元
环乘法当环 $R$ 有单位元 $e$ 时，考虑环的元素是否有逆元
若对 $a \in R$ ，存在 $b \in R$ ，使得 $a b = b a = e$ ，则称 $a$ 是可逆元，或称为环 $R$ 的单位(unit)，并称 $b$ 是 $a$ 的逆元。当然这时 $b$ 也是可逆元，且 $a$ 是 $b$ 的逆元
所有可逆元关于环乘法构成群，称为 $R$ 的单位群 (group of units)，记为 $U (R)$ 。
环乘法是否有零因子
对环 $R$ 的两个非零元素 $a, b$ ，若 $a \cdot b = 0$ ，则称 $a$ 是左零因子 (left zero-divisor)，b 是右零因子 (right zero-divisor)。左零因子和右零因子统称为零因子
若环 $R$ 的所有非零元素都不是左零因子或右零因子，则称 $R$ 为无零因子环。

当集合 $R$ 只有一个元素 $0$ ，定义 $R$ 的加法运算和乘法运算： $0 + 0 = 0, 0 \cdot 0 = 0$ ，则 $({0}, +, \cdot)$ 构成环，这个环称为零环。在这个环中，零元也是单位元，而零元也是可逆元。

零环过于简单，通常在对环进行讨论时都将零环排除在外。因此在提到环时，总是默认环至少有两个元素，这时零元不可能是单位元，也不可能是可逆元。

整环¶

有单位元
无零因子
(乘法) 可交换

的环称为整环 (integral domain)

证明一个环是整环：

\forall a, b \in R, a b = 0 \Rightarrow a = 0 \or b = 0

除环¶

有单位元
至少有两个元素
每个非零元都可逆 (乘法)
（无零因子，可逆元都不是零因子）

的环称为除环 (division ring)

域¶

交换除环称为域(field) (比较常用)，也即需满足：

有单位元
至少有两个元素
每个非零元都可逆 (乘法)
(乘法) 可交换
（无零因子，可逆元都不是零因子）

可逆元都不是零因子（为什么？），因此域都是整环！

非交换除环也称体 (skew field) (比较少用)

常用环¶

整数环及其子环¶

整数集 $Z$ 关于普通加法 $+$ 和普通乘法 $\cdot$ 构成环，称为整数环
整数环 $Z$ 是交换环，(乘法) 零元是 0，单位元是 1
只有 1 和 -1 是可逆元，因此整数环的单位群是 $({1, - 1}, \cdot)$ ；
整数环的每个非零整数都不是零因子，因此整数环是整环
固定整数 $d$ ，集合 $d Z = {k d | k \in Z}$ 关于普通加法 $+$ 和普通乘法 $\cdot$ 也构成交换环
当 $d \neq 1$ 时，环 $d Z$ 没有单位元。显然环 $d Z$ 也是无零因子环
具体来说，所有偶数构成的集合 $2 Z$ 关于普通加法和普通乘法构成无单位元、无零因子的交换环。

模 m 剩余类环及其子环¶

固定整数 $m \geq 2$ ，模 $m$ 剩余类 $Z_{m} = {\overset{―}{0}, \overset{―}{1}, \dots, \overset{―}{m - 1}}$ 关于模 $m$ 加 $\oplus_{m}$ 和模 $m$ 乘 $\otimes_{m}$ 构成环，称为模 $m$ 剩余类环 (residue class ring)

$\overset{―}{0}$ 表示整除 $m$ 余 0 的所有整数构成的集合， $Z_{m}$ 的元素是集合
模 $m$ 剩余类环 $Z$ 是有单位元交换环，零元是 0，有单位元 1
对于 $a \in Z_{m}$ ，如果 $a$ 与 $m$ 互质，则 $a$ 关于模 $m$ 乘有逆元，因此单位群是 $U (m)$ 群
当 $m$ 是质数 $p$ 时， $Z_{p} = {0} \cup U (p)$ ，关于 $\oplus_{p}$ 和 $\otimes_{p}$ 构成有单位元、每个非零元都可逆的交换环，也即这时 $Z_{p}$ 是域
当 $m$ 不是质数时，若 $m = k d (2 \leq k \leq m, 2 \leq k \leq m)$ ，则 $k$ 和 $d$ 都是模 $m$ 剩余类环的零因子，这时就不是无零因子环，当然也不是整环

有理数域¶

有理数集 $Q$ 关于普通加法 $+$ 和普通乘法 $\cdot$ 构成环

有单位元 1，是交换环，而且每个非零有理数 $r$ 都有逆 $1 / r$ ；
单位群是所有非零有理数集 $Q^{*}$ 关于普通乘法构成的群 $(Q^{*}, \cdot)$
因此通常直接称有理数集 $Q$ 为有理数域

实数集 $R$ 和复数集 $C$ 关于普通加法 $+$ 和普通乘法 $\cdot$ 也都构成域，分别称为实数域 $R$ 和复数域 $C$ ：

单位群分别是所有非零实数集 $R^{*}$ 和非零复数集 $C^{*}$ 关于普通乘法构成的群
复数域 $C$ 的零元是实数 0，单位元是实数 1，而复数乘法的逆为： $(a + b i)^{- 1} = \frac{a - b i}{a^{2} + b^{2}}$ 。

高斯整环¶

$高斯整环$

类高斯整环¶

看起来和高斯整环很像，我乱起的名字，不是很重要

$类高斯整环1$

$类高斯整环2$

全矩阵环¶

$全矩阵环$

多项式环¶

$多项式环1$ $多项式环2$

例子

$多项式环举例$

理想¶

定义¶

设 $R$ 是环， $I$ 是 $R$ 的非空子集。若 I 满足：

$\forall r_{1}, r_{2} \in I$ ，有 $r_{1} - r_{2} \in I$ ；
$\forall r \in I, \forall s \in R, r s, s r \in I$ ；

则称 $I$ 为环 $R$ 的理想 (ideal)，记为 $I ⊲ R$ ，若 $I$ 是 $R$ 的真子集，则称 $I$ 是 $R$ 的真理想 (proper ideal)。

理想是子环：显然如果 $I$ 是 $R$ 的理想，则 $I$ 必定是 $R$ 的子环；

Abstract

当然子环不一定是理想

$R$ 的单个零元构成的集合 ${0}$ （称为零理想）和 $R$ 本身都是 $R$ 的理想，这两个理想称为 $R$ 的平凡理想。因此 $R$ 的非平凡理想就是非零真理想

常用理想¶

整数环 $Z$ 的所有理想是 $d Z = {d z | z \in Z}, d = 0, 1, \dots$ ；

模 $m$ 剩余类环 $Z_{m}$ 的所有理想是 $d Z_{m} = {d z | z \in Z_{m}}, d = 0, 1, \dots, m - 1$ ；

证明

理想是子环，而 $Z$ 的每个子环都具有形式 $d Z$ ，而且对任意子环 $d Z$ ，对任意 $d z \in d Z$ ，以及 $s \in Z$ ，显然有 $d z s, s d z \in d Z$ ，因此每个子环 $d Z$ 都是 $Z$ 的理想

类似可得到模 $m$ 剩余类环 $Z_{m}$ 的所有理想是 $d Z_{m}, d = 0, 1, \dots, m - 1$ 。

运算¶

和¶

设 $R$ 是环， $I, J$ 都是 $R$ 的理想， $I + J$ 称为理想 $I$ 和 $J$ 的和：

I + J = {a + b \in R | a \in I, b \in J}

交¶

$I \cap J$ 称为 $I$ 和 $J$ 的交：

I \cap J = {x \in R | x \in I, x \in J}

积¶

$I J$ 称为理想 $I$ 和 $J$ 的积：

I J = {a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} | n \in N^{*}, a_{k} \in I, b_{k} \in J}

和交积保持理想¶

若 $I$ 和 $J$ 都是环 $R$ 的理想，则 $I + J$ ， $I \cap J$ ， $I J$ 也是环 $R$ 的理想

环的任意有限多个理想的和仍是理想，而任意有限或无限多个理想的交仍是理想

主理想¶

定义¶

设 $R$ 是环， $a$ 是 $R$ 的元素，记所有包含 $a$ 的理想构成的集合为：

\sum = {I ⊲ R | a \in I}

至少有 $R \in \sum$ ，所以 $\sum$ 非空。令：

⟨ a ⟩ = ⋂_{I \in \sum} I

则 $⟨ a ⟩$ 是理想，而且是包含 $a$ 的最小理想。这个理想称由 $a$ 生成的主理想（principal ideal）， $a$ 为其生成元。

定理结论¶

环 $R$ 的由 $a$ 生成的主理想满足：

⟨ a ⟩ = {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} a y_{i}) + x a + a y + m a | x_{i}, y_{i}, x, y \in R, n \in Z^{+}, m \in Z}

若 $R$ 有单位元，则：

⟨ a ⟩ = {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} a y_{i}) | x_{i}, y_{i} \in R}

若 $R$ 是交换环，则：

⟨ a ⟩ = {x a + m a | x \in R, m \in Z}

若 $R$ 是有单位元的交换环，则：

⟨ a ⟩ = a R = {a r | r \in R}

常用理想的主理想¶

整数环 $Z$ 的每个理想 $d Z$ 都是主理想，即是 $⟨ d ⟩$ ；
模 $m$ 剩余类环 $Z_{m}$ 的每个理想 $d Z_{m}$ 也都是主理想，即也是 $⟨ d ⟩$ ；

设 $R$ 是环， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in R$ ，则：

⟨ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} ⟩ = ⟨ a_{1} ⟩ + ⟨ a_{2} ⟩ + \dots + ⟨ a_{n} ⟩

也是 $R$ 的理想，并且是包含 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 的最小理想！称为由 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 生成的理想。

整数环 $Z$ 由 $a_{1}, a_{2}$ 生成的理想是 $⟨ gcd (a_{1}, a_{2}) ⟩$ ；

商环¶

环关于理想的商环

定义¶

设 $R$ 是环， $I$ 是 $(R, +, \cdot)$ 的一个理想，则 $(I, +)$ 是 $(R, +)$ 的正规子群，它所有（关于加群）的陪集构成集合 $R / I ＝ {x + I | x \in R}$ 、记陪集 $x + I$ 为 $\overset{―}{x}$ 。

运算的定义¶

加法¶

在集合 $R / I$ 上可定义加法 $+$ ：

\forall \overset{―}{x}, \overset{―}{y} \in R / I, \overset{―}{x} + \overset{―}{y} = \overset{―}{x + y} ⟺ (x + I) + (y + I) = (x + y) + I

这里 $\overset{―}{x} + \overset{―}{y}$ 中的 $+$ 是要定义的加法，即后面所说商环中的加法，而 $\overset{―}{x + y}$ 中的 $+$ 是环 $R$ 中的加法。

根据正规子群的性质，该定义是合适的。

乘法¶

在集合 $R / I$ 上可定义乘法 $\times$ ：

\forall \overset{―}{x}, \overset{―}{y} \in R / I, \overset{―}{x} \cdot \overset{―}{y} = \overset{―}{x \cdot y} ⟺ (x + I) \cdot (y + I) = (x \cdot y) + I

这里 $\overset{―}{x} \cdot \overset{―}{y}$ 中的 $\cdot $ 是要定义的乘法，即后面所说商环中的乘法，而 $\overset{―}{x \cdot y}$ 中的 $\cdot $ 是环 $R$ 中的乘法。

由于这定义在等价类（陪集）上，因此需要证明该定义是合适的，即与选择的代表无关，即：

\overset{―}{x_{1}} = \overset{―}{x_{2}} \land \overset{―}{y_{1}} = \overset{―}{y_{2}} \Rightarrow \overset{―}{x_{1} \cdot y_{1}} = \overset{―}{x_{2} \cdot y_{2}}

$商环乘法合适定义证明$

构成环¶

$商环构成环证明1$

$商环构成环证明2$

商环定义¶

设 $R$ 是环， $I$ 是理想，则环的加群关于理想的商群 $R / I$ 也构成环（基于上面定义的加法和乘法），称为环 $R$ 关于理想 $I$ 的商环（quotient ring），仍记为 $R / I$ 。

R / I = {x + I | x \in R}

基本性质：

$\overset{―}{a} = a + I$ ；
商环的（加法）零元： $\overset{―}{0} = 0 + I$ ；
商环的（加法）单位元： $\overset{―}{e} = e + I$ ；

环同态¶

Abstract

环的同态就是与环的加法与乘法都可交换的函数

设 $(R, +, \cdot)$ 和 $(R^{'}, \oplus, \otimes)$ 是环， $φ : R \to R^{'}$ 是 $R$ 到 $R^{'}$ 的函数，若对 $\forall a, b \in R$ 有：

φ (a + b) = φ (a) \oplus φ (b) φ (a \cdot b) = φ (a) \otimes φ (b)

则称 $φ$ 是 $R$ 到 $R^{'}$ 的同态。

$φ$ 是单函数，则称为单同态
$φ$ 是满函数，则称为满同态
$φ$ 是双函数，则称为同构，记为： $R ≅ R^{'}$ 。

设 $R$ 和 $R^{'}$ 是两个环，定义函数 $φ : R \to R^{'}$ ： $\forall a \in R, φ (a) = 0$ ，这里 0 是 $R^{'}$ 的零元，则容易验证 $φ$ 是同态，这个同态称为零同态 (zero homomorphism)

设 $R$ 是环， $I$ 是 $R$ 的理想，则很自然地有同态 $ρ : R \to R / I$ ， $\forall a \in R, ρ (a) = \overset{―}{a}$ ，这里 $\overset{―}{a}$ 是 $a$ 所在的等价类，即 $a + I$ 。这个同态称为商环 $R / I$ 的自然同态 (natural morphism)

零同态、自然同态都是满同态。

自然同态一个例子：

整数环 $Z$ 到模 $m$ 剩余类环 $Z_{m}$ 有很自然的满同态 $φ : Z \to Z_{m}$ ， $\forall z \in Z, φ (z) = z mod m$

Abstract

零同态全部映射到零元，单同态给出子代数，满同态给出商代数

环同态保持：

加法单位元
子环

不保持：

理想

$Z_{m}$ 到 $Z_{n}$ 的同态¶

$zm到zn的同态符号约定$

$φ : Z_{m} \to Z_{n}$ 是 $Z_{m}$ 到 $Z_{n}$ 的同态，当且仅当：

$φ (\overset{―}{1}) = [a]$ ；（环同态由该值决定）
$φ (\overset{―}{x}) = x [a]$ ；（乘法陪集）
$m [a] = [0]$ ；
$[a]^{2} = [a]$ ；（ $[a]$ 是 $Z_{m}$ 的幂等元）

环扩张¶

环的扩张定理，也称为挖补定理

$环扩张定理$

如图， $R$ 和 $S^{'}$ 是 2 个没有公共元素的环，存在 $R$ 到 $S^{'}$ 的单同态：

ψ : R \to S^{'}

并且： $ψ (R) = S$ 。

那么 $R$ 可以扩张为 $R^{'}$ ，满足：

$R^{'} - R = S^{'} - S$ ；
$S^{'} ≅ R^{'}$ ；

设 $R$ 是一个没有单位元的环，则存在一个有单位元的环 $R^{'}$ ，使得 $R$ 是 $R^{'}$ 的子环。

特征¶

设 $R$ 是环。若存在最小正整数 $n$ 使得对所有 $a \in R$ 有 $n a = 0$ ，则称 $n$ 为环 $R$ 的特征。如果不存在这样的正整数，则称 $R$ 的特征为 0。环 R 的特征记为 Char $R$ 。

数域 $Z, Q, R, C$ 的特征都是 0，而模 $m$ 剩余类环 $Z_{m}$ 的特征是 $m$ 。

【定理】设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环。若 $e$ 关于加法的阶为无穷大，则 Char $R = 0$ ，否则 Char $R = | e |$ ，这里 $| e |$ 在环的加群中的阶。

证明若 $e$ 的加法的阶为无穷大，则不存在正整数 $n$ 使得 $n e = 0$ ，从而 Char $R = 0$ ，否则，若 $| e | = n$ ，则 $n e = 0$ ，从而对任意 $a \in R$ ， $n a = n (e a) = (n e) a = 0$ 。

整环的特征是 0 或是一个素数，进而域的特征也只能是 0 或是素数。

根据 $R$ 的特征构造 $Z$ 到 $R$ 的同态

【定理】设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环，定义函数 $φ : Z \to R$ ， $\forall n \in Z, φ (n) = n e$ ，则 $φ$ 是环 $Z$ 到 $R$ 的同态。

【推论】设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环。

如果 $R$ 的特征为 $n > 0$ ，则 $R$ 包含一个与 $Z_{n}$ 同构的子环；
如果 $R$ 的特征为 0 ，则 $R$ 包含一个与 $Z$ 同构的子环。
所以特征为 0 的环一定是无穷环

每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为 $p^{n}$ ( $p$ 是素数、 $n$ 是正整数)，该有限域通常称为 Galois 域 (Galois Fields)，记为 $G F (p^{n})$ 。

【推论】设 $F$ 是域。

1.如果 $F$ 的特征为 0 ，则 $F$ 包含一个与有理数域同构的子域；

2.如果 $R$ 的特征是素数 $p$ ，则 $F$ 包含一个与模 $p$ 剩余类环 $Z_{p}$ 同构的子域。

素域¶

若域 $F$ 不包含任何真子域，则称 F 是素域 (prime field)。

特征为素数 $p$ 的交换环中：

(a \pm b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}}

证明思路

交换环中也有二项式定理，以此证明 $(a \pm b)^{p} = a^{p} + b^{p}$ ，然后数学归纳法即可。

环

环的相关定义¶

整环¶

除环¶

域¶

常用环¶

整数环及其子环¶

模 m 剩余类环及其子环¶

有理数域¶

高斯整环¶

类高斯整环¶

全矩阵环¶

多项式环¶

理想¶

定义¶

常用理想¶

运算¶

和¶

交¶

积¶

和交积保持理想¶

主理想¶

定义¶

定理结论¶

常用理想的主理想¶

商环¶

定义¶

运算的定义¶

加法¶

乘法¶

构成环¶

商环定义¶

环同态¶

Zm到Zn的同态¶

环扩张¶

特征¶

素域¶

$Z_{m}$ 到 $Z_{n}$ 的同态¶