环

环的相关定义

设 \(R\) 是非空集合，如果在 \(R\) 上定义了两个二元运算 “\(+\)”（称为加法）和 “ \(\cdot\) ”（称为乘法），且满足：

• （1） \(R\) 关于加法 \(+\) 构成交换群（即加群）
• （2） \(R\) 关于乘法 \(\cdot\) 构成半群，即乘法满足结合律：\(\forall a,b,c\in R,\ \ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\)；
• （3） 乘法 \(\cdot\) 对加法有左右分配律：

\[ \forall a,b,c\in R\\ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\ (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a \]

则称代数 \((R,+,\ \cdot\ )\) 是环（ring）。在通过上下文能明确运算时，通常直接称 \(R\) 为环。

Abstract

有教材要求环乘法必须有单位元，也有教材要求环乘法必须满足交换律等

对环 \((R,+,\ \cdot\ )\) ，\((R\ ,+)\)是交换群，称为环 \(R\) 的加法群，其单位元通常用 0 表示，称为环 \(R\) 的零元，元素 \(a\) 的加法逆元记为 \(-a\) ，称为 \(a\) 的负元。

通过负元引入环的减法，即 \(a-b\) 定义为 \(a+(-b)\)。

• 环乘法是否满足交换律
• 若环 \(R\) 的乘法也满足交换律，则称为交换环 (commutative ring)
• 是否有单位元
• 若环 \(R\) 的乘法有单位元，则称为有单位元环，环乘法的单位元通常记为 \(e\) 或 \(1\) ，并称为环 \(R\) 的单位元
• 环乘法当环 \(R\) 有单位元 \(e\) 时，考虑环的元素是否有逆元
• 若对 \(a\in R\) ，存在 \(b\in R\) ，使得 \(ab=ba=e\) ，则称 \(a\) 是可逆元，或称为环 \(R\) 的单位(unit)，并称 \(b\) 是 \(a\) 的逆元。当然这时 \(b\) 也是可逆元，且 \(a\) 是 \(b\) 的逆元
• 所有可逆元关于环乘法构成群，称为 \(R\) 的单位群 (group of units)，记为 \(U(R)\)。
• 环乘法是否有零因子
• 对环 \(R\) 的两个非零元素 \(a,b\) ，若 \(a\cdot b=0\) ，则称 \(a\) 是左零因子 (left zero-divisor)，b 是右零因子 (right zero-divisor)。左零因子和右零因子统称为零因子
• 若环 \(R\) 的所有非零元素都不是左零因子或右零因子，则称 \(R\) 为无零因子环。

当集合 \(R\) 只有一个元素 \(0\) ，定义 \(R\) 的加法运算和乘法运算：\(0+0=0,\ 0\cdot 0=0\)，则 \((\{0\},+,\ \cdot\ )\) 构成环，这个环称为零环。在这个环中，零元也是单位元，而零元也是可逆元。

零环过于简单，通常在对环进行讨论时都将零环排除在外。因此在提到环时，总是默认环至少有两个元素，这时零元不可能是单位元，也不可能是可逆元。

整环

• 有单位元
• 无零因子
• (乘法) 可交换

的环称为整环 (integral domain)

---

证明一个环是整环：

\[ \forall a,b\in R,\ \ ab=0\Rightarrow a=0\or b=0 \]

除环

• 有单位元
• 至少有两个元素
• 每个非零元都可逆 (乘法)
• （无零因子，可逆元都不是零因子）

的环称为除环 (division ring)

域

交换除环称为域(field) (比较常用)，也即需满足：

• 有单位元
• 至少有两个元素
• 每个非零元都可逆 (乘法)
• (乘法) 可交换
• （无零因子，可逆元都不是零因子）

可逆元都不是零因子（为什么？），因此域都是整环！

非交换除环也称体 (skew field) (比较少用)

常用环

整数环及其子环

• 整数集 \(\mathbb Z\) 关于普通加法 \(+\) 和普通乘法 \(\cdot\) 构成环，称为整数环

• 整数环 \(\mathbb Z\) 是交换环，(乘法) 零元是 0，单位元是 1

• 只有 1 和 -1 是可逆元，因此整数环的单位群是 \((\{1, -1\},\ \cdot\ )\)；

• 整数环的每个非零整数都不是零因子，因此整数环是整环

• 固定整数 \(d\) ，集合 \(d\mathbb Z=\{kd|k\in \mathbb Z\}\) 关于普通加法 \(+\) 和普通乘法 \(\cdot\) 也构成交换环

• 当 \(d≠1\) 时，环 \(d\mathbb Z\) 没有单位元。显然环 \(d\mathbb Z\) 也是无零因子环

• 具体来说，所有偶数构成的集合 \(2\mathbb Z\) 关于普通加法和普通乘法构成无单位元、无零因子的交换环。

模 m 剩余类环及其子环

固定整数 \(m≥2\) ，模 \(m\) 剩余类 \(\mathbb Z_m=\{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{m-1}\}\) 关于模 \(m\) 加 \(⊕_m\) 和模 \(m\) 乘 \(⊗_m\) 构成环，称为模 \(m\) 剩余类环 (residue class ring)

• \(\overline 0\) 表示整除 \(m\) 余 0 的所有整数构成的集合，\(\mathbb Z_m\) 的元素是集合

• 模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbb Z\) 是有单位元交换环，零元是 0，有单位元 1

• 对于 \(a\in \mathbb Z_m\) ，如果 \(a\) 与 \(m\) 互质，则 \(a\) 关于模 \(m\) 乘有逆元，因此单位群是 \(U(m)\) 群

• 当 \(m\) 是质数 \(p\) 时，\(\mathbb Z_p=\{0\}\cup U(p)\) ，关于 \(⊕_p\) 和 \(⊗_p\) 构成有单位元、每个非零元都可逆的交换环，也即这时 \(\mathbb Z_p\) 是域

• 当 \(m\) 不是质数时，若 \(m=kd(2≤k≤m,2≤k≤m)\) ，则 \(k\) 和 \(d\) 都是模 \(m\) 剩余类环的零因子，这时就不是无零因子环，当然也不是整环

有理数域

有理数集 \(Q\) 关于普通加法 \(+\) 和普通乘法 \(\cdot\) 构成环

• 有单位元 1，是交换环，而且每个非零有理数 \(r\) 都有逆 \(1/r\)；

• 单位群是所有非零有理数集 \(\mathbb Q^*\) 关于普通乘法构成的群 \((\mathbb Q^*,\ \cdot\ )\)

• 因此通常直接称有理数集 \(\mathbb Q\) 为有理数域

实数集 \(\mathbb R\) 和复数集 \(\mathbb C\) 关于普通加法 \(+\) 和普通乘法 \(\cdot\) 也都构成域，分别称为实数域 \(\mathbb R\) 和复数域 \(\mathbb C\)：

• 单位群分别是所有非零实数集 \(\mathbb R^*\) 和非零复数集 \(\mathbb C^*\) 关于普通乘法构成的群

• 复数域 \(\mathbb C\) 的零元是实数 0，单位元是实数 1，而复数乘法的逆为：\((a+bi)^{-1}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\)。

高斯整环

类高斯整环

看起来和高斯整环很像，我乱起的名字，不是很重要

全矩阵环

多项式环

例子

理想

定义

设 \(R\) 是环，\(I\) 是 \(R\) 的非空子集。若 I 满足：

1. \(\forall r_1,r_2\in I\)，有 \(r_1-r_2\in I\)；
2. \(\forall r\in I,\ \forall s\in R,\ \ rs,sr\in I\)；

则称 \(I\) 为环 \(R\) 的理想 (ideal)，记为 \(I⊲R\)，若 \(I\) 是 \(R\) 的真子集，则称 \(I\) 是 \(R\) 的真理想 (proper ideal)。

理想是子环：显然如果 \(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(I\) 必定是 \(R\) 的子环；

Abstract

当然子环不一定是理想

\(R\) 的单个零元构成的集合 \(\{0\}\)（称为零理想）和 \(R\) 本身都是 \(R\) 的理想，这两个理想称为 \(R\) 的平凡理想。因此 \(R\) 的非平凡理想就是非零真理想

常用理想

整数环 \(Z\) 的所有理想是 \(dZ=\{dz|z\in Z\},\ d=0,1,\cdots\)；

模 \(m\) 剩余类环 \(Z_m\) 的所有理想是 \(dZ_m=\{dz|z\in Z_m\},\ d=0, 1, \cdots, m-1\)；

---

证明

理想是子环，而 \(Z\) 的每个子环都具有形式 \(dZ\) ，而且对任意子环 \(dZ\) ，对任意 \(dz\in dZ\) ，以及 \(s\in Z\) ，显然有 \(dzs, sdz\in dZ\) ，因此每个子环 \(dZ\) 都是 \(Z\) 的理想

类似可得到模 \(m\) 剩余类环 \(Z_m\) 的所有理想是 \(dZ_m, d=0, 1, \cdots, m-1\)。

运算

和

设 \(R\) 是环，\(I,J\) 都是 \(R\) 的理想，\(I+J\) 称为理想 \(I\) 和 \(J\) 的和：

\[ I+J=\{a+b\in R|a\in I, b\in J\} \]

交

\(I\cap J\) 称为 \(I\) 和 \(J\) 的交：

\[ I\cap J=\{x\in R|x\in I,x\in J\} \]

积

\(IJ\) 称为理想 \(I\) 和 \(J\) 的积：

\[ IJ=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n|n\in\mathbb N^*,a_k\in I,b_k\in J\} \]

和交积保持理想

若 \(I\) 和 \(J\) 都是环 \(R\) 的理想，则 \(I+J\) ， \(I\cap J\) ，\(IJ\) 也是环 \(R\) 的理想

环的任意有限多个理想的和仍是理想，而任意有限或无限多个理想的交仍是理想

主理想

定义

设 \(R\) 是环，\(a\) 是 \(R\) 的元素，记所有包含 \(a\) 的理想构成的集合为：

\[ \sum=\{I\lhd R|a\in I\} \]

至少有 \(R\in\sum\) ，所以 \(\sum\) 非空。令：

\[ \langle a\rangle=\bigcap_{I\in\sum}I \]

则 \(\langle a\rangle\) 是理想，而且是包含 \(a\) 的最小理想。这个理想称由 \(a\) 生成的主理想（principal ideal），\(a\) 为其生成元。

定理结论

环 \(R\) 的由 \(a\) 生成的主理想满足：

\[ \langle a\rangle=\big\{ \big(\sum_{i=1}^{n}x_iay_i\big) +xa+ay+ma\big|x_i,y_i,x,y\in R,n\in\mathbb Z^+,m\in\mathbb Z \big\} \]

若 \(R\) 有单位元，则：

\[ \langle a\rangle=\big\{ \big(\sum_{i=1}^{n}x_iay_i\big) \big|x_i,y_i\in R \big\}\ \]

若 \(R\) 是交换环，则：

\[ \langle a\rangle=\big\{ xa+ma\big|x\in R,m\in\mathbb Z \big\} \]

若 \(R\) 是有单位元的交换环，则：

\[ \langle a\rangle=aR=\big\{ ar\big|r\in R \big\} \]

常用理想的主理想

• 整数环 \(\mathbb Z\) 的每个理想 \(d\mathbb Z\) 都是主理想，即是 \(\langle d\rangle\) ；
• 模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbb Z_m\) 的每个理想 \(d\mathbb Z_m\) 也都是主理想，即也是 \(\langle d\rangle\) ；

设 \(R\) 是环，\(a_1,a_2,\cdots,a_n\in R\)，则：

\[ \langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle=\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle \]

也是 \(R\) 的理想，并且是包含 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的最小理想！称为由 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 生成的理想。

整数环 \(\mathbb Z\) 由 \(a_1,a_2\) 生成的理想是\(\langle\gcd(a_1,a_2)\rangle\)；

商环

环关于理想的商环

定义

设 \(R\) 是环，\(I\) 是 \((R,+,\ \cdot\ )\) 的一个理想，则 \((I,+)\) 是 \((R,+)\) 的正规子群，它所有（关于加群）的陪集构成集合 \(R/I＝\{x+I|x\in R\}\) 、记陪集 \(x+I\) 为 \(\overline x\) 。

运算的定义

加法

在集合 \(R/I\) 上可定义加法 \(+\)：

\[ \forall \overline x,\overline y\in R/I,\\ \overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}\Longleftrightarrow (x+I)+(y+I)=(x+y)+I \]

这里 \(\overline{x}+\overline{y}\) 中的 \(+\) 是要定义的加法，即后面所说商环中的加法，而 \(\overline{x+y}\) 中的 \(+\) 是环 \(R\) 中的加法。

根据正规子群的性质，该定义是合适的。

乘法

在集合 \(R/I\) 上可定义乘法 \(\times\)：

\[ \forall \overline x,\overline y\in R/I,\\ \overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{x\cdot y}\Longleftrightarrow (x+I)\cdot(y+I)=(x\cdot y)+I \]

这里 \(\overline{x}\cdot\overline{y}\) 中的 $\cdot $ 是要定义的乘法，即后面所说商环中的乘法，而 \(\overline{x\cdot y}\) 中的 $\cdot $ 是环 \(R\) 中的乘法。

---

由于这定义在等价类（陪集）上，因此需要证明该定义是合适的，即与选择的代表无关，即：

\[ \overline{x_1}=\overline{x_2}\ \land\overline{y_1}=\overline{y_2} \Rightarrow \overline{x_1\cdot y_1}=\overline{x_2\cdot y_2} \]

构成环

商环定义

设 \(R\) 是环，\(I\) 是理想，则环的加群关于理想的商群 \(R/I\) 也构成环（基于上面定义的加法和乘法），称为环 \(R\) 关于理想 \(I\) 的商环（quotient ring），仍记为 \(R/I\) 。

\[ R/I=\{x+I|x\in R\} \]

基本性质：

• \(\overline{a}=a+I\)；
• 商环的（加法）零元：\(\overline{0}=0+I\)；
• 商环的（加法）单位元：\(\overline{e}=e+I\)；

环同态

Abstract

环的同态就是与环的加法与乘法都可交换的函数

设 \((R,+,\cdot)\) 和 \((R',\oplus,\otimes)\) 是环，\(\varphi:R\to R'\) 是 \(R\) 到 \(R'\) 的函数，若对 \(\forall a,b\in R\) 有：

\[ \varphi(a+b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b)\\ \varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\otimes\varphi(b) \]

则称 \(\varphi\) 是 \(R\) 到 \(R'\) 的同态。

• \(\varphi\) 是单函数，则称为单同态
• \(\varphi\) 是满函数，则称为满同态
• \(\varphi\) 是双函数，则称为同构，记为：\(R\cong R'\)。

设 \(R\) 和 \(R'\) 是两个环，定义函数 \(φ:R→R^′\)：\(∀a\in R,φ(a)= 0\)，这里 0 是 \(R'\) 的零元，则容易验证 \(φ\) 是同态，这个同态称为零同态 (zero homomorphism)

设 \(R\) 是环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，则很自然地有同态 \(ρ:R→R/I\) ，\(∀a\in R,ρ(a)=\overline a\)，这里 \(\overline a\) 是 \(a\) 所在的等价类，即 \(a+I\) 。这个同态称为商环 \(R/I\) 的自然同态 (natural morphism)

零同态、自然同态都是满同态。

自然同态一个例子：

• 整数环 \(\mathbb Z\) 到模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbb Z_m\) 有很自然的满同态 \(φ:\mathbb Z→\mathbb Z_m\)，\(∀z\in \mathbb Z, φ(z)=z\bmod m\)

Abstract

零同态全部映射到零元，单同态给出子代数，满同态给出商代数

环同态保持：

• 加法单位元
• 子环

不保持：

• 理想

\(\mathbb{Z}_m\)到\(\mathbb{Z}_n\)的同态

\(\varphi:\mathbb{Z}_m\to\mathbb{Z}_n\) 是 \(\mathbb{Z}_m\) 到 \(\mathbb{Z}_n\) 的同态，当且仅当：

• \(\varphi(\overline1)=[a]\)；（环同态由该值决定）
• \(\varphi(\overline{x})=x[a]\)；（乘法陪集）
• \(m[a]=[0]\)；
• \([a]^2=[a]\)；（\([a]\) 是 \(\mathbb{Z}_m\) 的幂等元）

环扩张

环的扩张定理，也称为挖补定理

如图，\(R\) 和 \(S'\) 是 2 个没有公共元素的环，存在 \(R\) 到 \(S'\) 的单同态：

\[ \psi:R\to S' \]

并且：\(\psi(R)=S\)。

那么 \(R\) 可以扩张为 \(R'\) ，满足：

• \(R'-R=S'-S\)；
• \(S'\cong R'\)；

设 \(R\) 是一个没有单位元的环，则存在一个有单位元的环 \(R'\) ，使得 \(R\) 是 \(R'\) 的子环。

特征

设 \(R\) 是环。若存在最小正整数 \(n\) 使得对所有 \(a\in R\) 有 \(na=0\) ，则称 \(n\) 为环 \(R\) 的特征。如果不存在这样的正整数，则称 \(R\) 的特征为 0。环 R 的特征记为 Char \(R\)。

数域 \(\mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C\) 的特征都是 0，而模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbb Z_m\) 的特征是 \(m\)。

【定理】设 \(R\) 是有单位元 \(e\) 的环。若 \(e\) 关于加法的阶为无穷大，则 Char \(R=0\)，否则 Char \(R=|e|\)，这里 \(|e|\) 在环的加群中的阶。

证明 若 \(e\) 的加法的阶为无穷大，则不存在正整数 \(n\) 使得 \(ne=0\) ，从而 Char \(R= 0\)，否则，若 \(|e|=n\) ，则 \(ne=0\) ，从而对任意 \(a\in R\) ，\(na=n(ea)=(ne)a=0\)。

整环的特征是 0 或是一个素数，进而域的特征也只能是 0 或是素数。

根据 \(R\) 的特征构造 \(\mathbb Z\) 到 \(R\) 的同态

【定理】设 \(R\) 是有单位元 \(e\) 的环，定义函数 \(φ:\mathbb Z→R\)，\(∀n\in \mathbb Z, φ(n)=ne\)，则 \(φ\) 是环 \(\mathbb Z\) 到 \(R\) 的同态。

【推论】设 \(R\) 是有单位元 \(e\) 的环。

1. 如果 \(R\) 的特征为 \(n>0\)，则 \(R\) 包含一个与 \(\mathbb Z_n\) 同构的子环；

2. 如果 \(R\) 的特征为 0 ，则 \(R\) 包含一个与 \(\mathbb Z\) 同构的子环。

3. 所以特征为 0 的环一定是无穷环

每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为 \(p^n\) ( \(p\) 是素数、\(n\) 是正整数)，该有限域通常称为 Galois 域 (Galois Fields)，记为 \(GF(p^n)\)。

【推论】设 \(F\) 是域。

1.如果 \(F\) 的特征为 0 ，则 \(F\) 包含一个与有理数域同构的子域；

2.如果 \(R\) 的特征是素数 \(p\) ，则 \(F\) 包含一个与模 \(p\) 剩余类环 \(\mathbb Z_p\) 同构的子域。

素域

若域 \(F\) 不包含任何真子域，则称 F 是素域 (prime field)。

特征为素数 \(p\) 的交换环中：

\[ (a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n} \]

---

证明思路

交换环中也有二项式定理，以此证明 \((a\pm b)^{p}=a^{p}+b^{p}\) ，然后数学归纳法即可。