素理想与极大理想

素理想¶

Abstract

非交换环上也可以定义素理想、极大理想，但这里只考虑交换环上的素理想和极大理想！

设 \(R\) 是交换环，\(P\) 是 \(R\) 的真理想。若对任意 \(a,b\in R\)，\(ab\in P\) 蕴涵 \(a\in P\) 或 \(b\in P\) ，则称 \(P\) 为 \(R\) 的素理想 (prime ideal)。

Abstract

素理想的概念 b 本质上来自数论中的基本结论：若 \(p\) 为素数，则 \(p|ab\Rightarrow p|a\or p|b\)。

设 \(n\) 是正整数，\(\langle n\rangle\) 是整数环 \(\mathbb Z\) 的素理想当且仅当 \(n\) 是素数。

零理想 \(I=\{0\}\) 是整数环 \(\mathbb Z\) 的素理想，但是 \(\mathbb Z\) 不是素理想，因为素理想要求是真理想！

设 \(R\) 是有单位元 \(e≠0\) 的交换环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(I\) 是 \(R\) 的素理想当且仅当 \(R/I\) 是整环。

设 \(R\) 是交换环，\(M\) 是 \(R\) 的真理想。若对 \(R\) 的任意包含 \(M\) 的理想 \(N\) ，必有 \(N=M\) 或 \(N=R\)，则称 \(M\) 是 \(R\) 的极大理想 (maximal ideal)。

极大理想就是没有真包含它的非平凡理想

证明 \(I\) 是 \(R\) 的极大理想的思路：（\(R\) 是有单位元 \(e\) 的交换环）

假设 \(J\) 是理想且 \(I\sub J\)，...... 得到 \(e\in J\)，所以 \(J=R\)，所以 \(I\) 是 \(R\) 的极大理想。

设 \(p\) 是正整数，\(\langle p\rangle\) 是整数环 \(\mathbb Z\) 的极大理想当且仅当 \(p\) 是素数，和素理想一致！

设 \(R\) 是有单位元 \(e\) 的交换环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，则：\(I\) 是 \(R\) 的极大理想当且仅当 \(R/I\) 是域。

在交换环 \(R\) 中，\(I\) 是 \(R\) 的素理想当且仅当在 \(R/I\) 中 \(\bar{a}\bar{b}=\bar0\) 蕴涵 \(\bar a=\bar 0\) 或 \(\bar b=\bar 0\)，当且仅当 \(R/I\) 的每个元素不是零因子
在有单位元交换环 \(R\) 中，\(I\) 是 \(R\) 的极大理想当且仅当每个真包含 \(I\) 的理想都包含 \(R\) 的单位元（从而就包含 \(R\) 的所有元素）

设 \(R\) 是有单位元的交换环，由于域都是整环，因此 \(R\) 的每个极大理想都是 \(R\) 的素理想。

如果没有单位元，则极大理想不一定是素理想
例如对于 \(R=2\mathbb Z\)，\(I=4\mathbb Z\)，\(I\) 是 \(R\) 的极大理想，但 \(I\) 不是 \(R\) 的素理想
一个素理想（即使是非零素理想）也不一定是极大理想

证明 \(\mathbb Z_m[x]\) 的理想 \(\langle ax^2+bx+c\rangle\) （这里以二阶多项式为例）是极大理想思路：

考察商环 \(\mathbb Z_m[x]/\langle ax^2+bx+c\rangle\) 是否是域，可以看其所有非零元素是否构成循环群，若构成循环群，则每个非零元素都可逆，则商环是域。

以下结论包括了高斯整环中的所有极大理想：

高斯整环 \(\mathbb Z[i]\) 的主理想 \(\langle a+bi\rangle\) 是极大理想当且仅当 \(a^2+b^2\) 是素数，且高斯整环 \(\mathbb Z[i]\) 关于极大理想 \(\langle a+bi\rangle\) 的商环 \(\mathbb Z[i]/\langle a+bi\rangle\) 和模 \(a^2+b^2\) 剩余类环 \(\mathbb Z_{a^2+b^2}\) 同构。

\(a^2+b^2\) 是素数，则一定有 \(a^2+b^2\equiv3\bmod4\)

高斯整环 \(\mathbb Z[i]\) 的主理想 \(\langle p\rangle\) 是极大理想当且仅当 \(p\) 是素数并且 \(p\equiv3\bmod4\)，和整数环中一致。且高斯整环 \(\mathbb Z[i]\) 关于极大理想 \(\langle p\rangle\) 的商环 \(\mathbb Z[i]/\langle p\rangle\) 和模 \(p^2\) 剩余类环 \(\mathbb Z_{p^2}\) 同构。
高斯整环中，\(\langle1+i\rangle\) 和 \(\langle1-i\rangle\) 是极大理想。