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素理想与极大理想

素理想

Abstract

非交换环上也可以定义素理想、极大理想,但这里只考虑交换环上的素理想和极大理想!

定义

R 是交换环,PR 的真理想。若对任意 a,bRabP 蕴涵 aPbP ,则称 PR素理想 (prime ideal)。

Abstract

素理想的概念 b 本质上来自数论中的基本结论:若 p 为素数,则 p|abp|a\orp|b

整数环的素理想

n 是正整数,n 是整数环 Z 的素理想当且仅当 n 是素数。

零理想 I={0} 是整数环 Z 的素理想,但是 Z 不是素理想,因为素理想要求是真理想!

素理想的充要条件

R 是有单位元 e0 的交换环,IR 的理想,则 IR 的素理想当且仅当 R/I整环

极大理想

定义

R 是交换环,MR 的真理想。若对 R 的任意包含 M 的理想 N ,必有 N=MN=R,则称 MR极大理想 (maximal ideal)。

极大理想就是没有真包含它的非平凡理想

极大理想的证明

证明 IR 的极大理想的思路:(R 是有单位元 e 的交换环)

假设 J 是理想且 I\subJ,...... 得到 eJ,所以 J=R,所以 IR 的极大理想。

整数环的极大理想

p 是正整数,p 是整数环 Z 的极大理想当且仅当 p 是素数,和素理想一致!

极大理想的充要条件

R 是有单位元 e 的交换环,IR 的理想,则:IR 的极大理想当且仅当 R/I


  • 在交换环 R 中,IR 的素理想当且仅当在 R/Ia¯b¯=0¯ 蕴涵 a¯=0¯b¯=0¯,当且仅当 R/I 的每个元素不是零因子
  • 在有单位元交换环 R 中,IR 的极大理想当且仅当每个真包含 I 的理想都包含 R 的单位元(从而就包含 R 的所有元素)

推论

R 是有单位元的交换环,由于域都是整环,因此 R 的每个极大理想都是 R 的素理想。

  • 如果没有单位元,则极大理想不一定是素理想
  • 例如对于 R=2ZI=4ZIR 的极大理想,但 I 不是 R 的素理想
  • 一个素理想(即使是非零素理想)也不一定是极大理想

多项式环的极大理想

证明 Zm[x] 的理想 ax2+bx+c (这里以二阶多项式为例)是极大理想思路:

考察商环 Zm[x]/ax2+bx+c 是否是,可以看其所有非零元素是否构成循环群,若构成循环群,则每个非零元素都可逆,则商环是域。

高斯整环的极大理想

以下结论包括了高斯整环中的所有极大理想:

  • 高斯整环 Z[i] 的主理想 a+bi 是极大理想当且仅当 a2+b2 是素数,且高斯整环 Z[i] 关于极大理想 a+bi 的商环 Z[i]/a+bi 和模 a2+b2 剩余类环 Za2+b2 同构。

a2+b2 是素数,则一定有 a2+b23mod4

  • 高斯整环 Z[i] 的主理想 p 是极大理想当且仅当 p 是素数并且 p3mod4,和整数环中一致。且高斯整环 Z[i] 关于极大理想 p 的商环 Z[i]/p 和模 p2 剩余类环 Zp2 同构。

  • 高斯整环中,1+i1i 是极大理想。