素理想与极大理想
素理想¶
Abstract
非交换环上也可以定义素理想、极大理想,但这里只考虑交换环上的素理想和极大理想!
定义¶
设
Abstract
素理想的概念 b 本质上来自数论中的基本结论:若
整数环的素理想¶
设
零理想
素理想的充要条件¶
设
极大理想¶
定义¶
设
极大理想就是没有真包含它的非平凡理想
极大理想的证明¶
证明
假设
整数环的极大理想¶
设
极大理想的充要条件¶
设
- 在交换环
中, 是 的素理想当且仅当在 中 蕴涵 或 ,当且仅当 的每个元素不是零因子 - 在有单位元交换环
中, 是 的极大理想当且仅当每个真包含 的理想都包含 的单位元(从而就包含 的所有元素)
推论¶
设
- 如果没有单位元,则极大理想不一定是素理想
- 例如对于
, , 是 的极大理想,但 不是 的素理想 - 一个素理想(即使是非零素理想)也不一定是极大理想
多项式环的极大理想¶
证明
考察商环
高斯整环的极大理想¶
以下结论包括了高斯整环中的所有极大理想:
- 高斯整环
的主理想 是极大理想当且仅当 是素数,且高斯整环 关于极大理想 的商环 和模 剩余类环 同构。
是素数,则一定有
-
高斯整环
的主理想 是极大理想当且仅当 是素数并且 ,和整数环中一致。且高斯整环 关于极大理想 的商环 和模 剩余类环 同构。 -
高斯整环中,
和 是极大理想。