置换群

置换群的定义

设 $S=\{1,2,\cdots ,n\}$ ； S 上的任意双函数 $\sigma :S\to S$ 称为 S 上的一个 n 元置换 (permutation)，记为：

$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\end{array}\right)$$

置换群的构成

置换乘法

设 $\sigma ,\tau$ 都是 S 上的 n 元置换，则 $\sigma ,\tau$ 作为函数的复合 $\sigma \circ \tau$ 和 $\tau \circ \sigma$ 也是 n 元置换，称为 $\sigma ,\tau$ 的乘积，记为 $\sigma \tau$ 和 $\tau \sigma$

• $\sigma \tau (i)=\sigma (\tau (i))$；
• $\tau \sigma (i)=\tau (\sigma (i))$；

恒等置换

记为 e ，为 S 上的恒等函数。显然它是置换乘法的单位元。

逆置换

对于某个置换 $\sigma$：

$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\end{array}\right)$$

$\sigma$​ 关于(置换)乘法的逆置换是：

$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}\sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\\ 1& 2& \cdots & n\end{array}\right)$$

对称群

$S$ 上的所有 n 元置换关于置换乘法构成群，这个群称 n 元对称群（symmetric group），并记为 $S_n$ , $S_n$ 的任意子群都称作 n 元置换群（permutation group）。

轮换

若 S 上的 n 元置换 $\sigma$ 满足：

$$\sigma (i_1)=i_2,\sigma (i_2)=i_3,\cdots ,\sigma (i_{k-1})=i_k,\sigma (i_k)=i_1$$

其中 $i_j\in S,j=1,\cdots ,k$ ；且满足其他元素不变，则称 $\sigma$ 为 S 上的 k 阶轮换（cycle），记为：

$$\sigma =(i_1{i}_2\cdots i_k)$$

特别地有：

• 2 阶轮换也叫做对换
• 1 阶轮换 $(1)$ 就是恒等置换

$\sigma =(i_1{i}_2\cdots i_r)$ 和 $\tau =(j_1{j}_2\cdots j_s)$ 是两个轮换，如果对任意的 $k=1,2,\cdots ,r$ 及任意的 $l=1,2,\cdots ,s$ 都有 $i_k\ne j_l$ ，称 $\sigma$ 和 $\tau$ 是两个不相交的轮换， $\sigma$ 和 $\tau$ 不相交

轮换性质 1

设 $\sigma \in S_n$ 是 n 阶置换，证明：$\sigma (i_1{i}_2\cdots i_k){\sigma }^{-1}=(\sigma (i_1)\sigma (i_2)\cdots \sigma (i_k))$

轮换性质 2

不相交轮换的可交换性

任意两个不相交轮换的乘积可交换，即若 σ 和 τ 是两个不相交的轮换，则 $\sigma \tau =\tau \sigma$

轮换性质 3

置换的轮换表示

每个置换都可表示为一些不相交轮换的乘积

Abstract

通常省略轮换表示中的一阶轮换，例如这里可以直接记为：$\sigma =(15236)(78)$

置换的对换表示

任意置换都可表示成对换的乘积，因为任意轮换都可表示成对换的乘积

设 $\sigma =(i_1{i}_2\cdots i_k)$ 是 $S=\{1,2,\cdots ,n\}$ 上的 k 阶轮换，则：

$$\sigma =(i_1{i}_2)(i_2{i}_3)\cdots (i_{k-1}{i}_k)$$

Warning

• 置换的轮换表示中的轮换是不交的，而对换表示式中的对换是允许有交的

• 轮换表示式在某种意义下（不考虑因子次序和 1 轮换个数）是惟一的，但对换表示式是不惟一的

Abstract

一般地，k 阶轮换 $(i_1{i}_2{i}_3\cdots i_k)$ 也等于 $(i_1{i}_k)(i_1{i}_{k-1})\cdots (i_1{i}_2)$

奇偶性

一个置换表为对换的乘积，所用的对换个数的奇偶性是惟一的。

• 可表示成偶数个对换的乘积的置换称为偶置换(even permutation)

• 可表示成奇数个对换的乘积的置换称为奇置换(odd permutation)

• 任何两个偶置换的积是偶置换；

• 两个奇置换的积是偶置换；

• 一个偶置换与一个奇置换的积是奇置换；

• 一个偶置换的逆置换仍然是偶置换；

• 一个奇置换的逆仍然是奇置换；

当 $n>1$ 时，在全体 n 元置换中，奇置换与偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个

交错群

在 n 元对称群 S_n 中，全体偶置换构成 S_n 的子群称这个子群称为 n 元交错群 (alternative group)。

	1	2	3
$f_1$	1	2	3
$f_2$	2	1	3
$f_3$	3	2	1
$f_4$	1	3	2
$f_5$	2	3	1
$f_6$	3	1	2

$S_3$ 中的偶置换包括 $(1)$（表示成 0 个对换的乘积）、$(123)=(12)(23)$ 和 $(132)=(13)(32)$ ，这些偶置换构成了 3 元交错群 $A_3=\{(1),(123),(132)\}=\{f_1,f_5,f_6\}$。