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置换群

置换群的定义

S={1,2,,n} ; S 上的任意双函数 σ:SS 称为 S 上的一个 n 元置换 (permutation),记为:

σ=(12nσ(1)σ(2)σ(n))

置换群的构成

置换乘法

σ,τ 都是 S 上的 n 元置换,则 σ,τ 作为函数的复合 σττσ 也是 n 元置换,称为 σ,τ乘积,记为 σττσ

  • στ(i)=σ(τ(i))
  • τσ(i)=τ(σ(i))

恒等置换

记为 e ,为 S 上的恒等函数。显然它是置换乘法的单位元

逆置换

对于某个置换 σ

σ=(12nσ(1)σ(2)σ(n))

σ​ 关于(置换)乘法的逆置换是:

σ=(σ(1)σ(2)σ(n)12n)

对称群

S 上的所有 n 元置换关于置换乘法构成群,这个群称 n 元对称群(symmetric group),并记为 Sn , Sn 的任意子群都称作 n 元置换群(permutation group)。

轮换

若 S 上的 n 元置换 σ 满足:

σ(i1)=i2,   σ(i2)=i3,  , σ(ik1)=ik,   σ(ik)=i1

其中 ijS,   j=1,,k ;且满足其他元素不变,则称 σ 为 S 上的 k 阶轮换(cycle),记为:

σ=(i1 i2  ik)

特别地有:

  • 2 阶轮换也叫做对换
  • 1 阶轮换 (1) 就是恒等置换

σ=(i1 i2  ir)τ=(j1 j2  js) 是两个轮换,如果对任意的 k=1,2,,r 及任意的 l=1,2,,s 都有 ikjl ,称 στ两个不相交的轮换στ 不相交

轮换性质 1

σSn 是 n 阶置换,证明:σ(i1 i2  ik)σ1=(σ(i1) σ(i2)  σ(ik))

轮换性质1证明

轮换性质 2

不相交轮换的可交换性

任意两个不相交轮换的乘积可交换,即若 σ 和 τ 是两个不相交的轮换,则 στ=τσ

轮换性质2eg

轮换性质 3

置换的轮换表示

每个置换都可表示为一些不相交轮换的乘积

轮换性质3eg

Abstract

通常省略轮换表示中的一阶轮换,例如这里可以直接记为:σ=(1 5 2 3 6)(7 8)

置换的对换表示

任意置换都可表示成对换的乘积,因为任意轮换都可表示成对换的乘积

σ=(i1 i2  ik)S={1,2,,n} 上的 k 阶轮换,则:

σ=(i1 i2)(i2 i3)(ik1 ik)

轮换性质4证明

Warning

  • 置换的轮换表示中的轮换是不交的,而对换表示式中的对换是允许有交
  • 轮换表示式在某种意义下(不考虑因子次序和 1 轮换个数)是惟一的,但对换表示式不惟一

轮换性质4eg1

轮换性质4eg2

Abstract

⭐一般地,k 阶轮换 (i1 i2 i3 ik) 也等于 (i1 ik)(i1 ik1)(i1 i2)

奇偶性

一个置换表为对换的乘积,所用的对换个数的奇偶性是惟一的。

  • 可表示成偶数个对换的乘积的置换称为偶置换(even permutation)
  • 可表示成奇数个对换的乘积的置换称为奇置换(odd permutation)

  • 任何两个偶置换的积是偶置换;

  • 两个奇置换的积是偶置换;
  • 一个偶置换与一个奇置换的积是奇置换;

  • 一个偶置换的逆置换仍然是偶置换;

  • 一个奇置换的逆仍然是奇置换;

n>1 时,在全体 n 元置换中,奇置换与偶置换各有 n!2

交错群

在 n 元对称群 S_n 中,全体偶置换构成 S_n 的子群称这个子群称为 n 元交错群 (alternative group)。

交错群eg

1 2 3
f1 1 2 3
f2 2 1 3
f3 3 2 1
f4 1 3 2
f5 2 3 1
f6 3 1 2

S3 中的偶置换包括 (1)(表示成 0 个对换的乘积)、(1 2 3)=(1 2)(2 3)(1 3 2)=(1 3)(3 2) ,这些偶置换构成了 3 元交错群 A3={(1),(1 2 3),(1 3 2)}={f1,f5,f6}