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置换群

置换群的定义

设 \(S=\{1,2,\cdots,n\}\) ； S 上的任意双函数 \(\sigma:S\to S\) 称为 S 上的一个 n 元置换 (permutation)，记为：

\[ \sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \quad \]

置换群的构成

置换乘法

设 \(\sigma,\tau\) 都是 S 上的 n 元置换，则 \(\sigma,\tau\) 作为函数的复合 \(\sigma\circ\tau\) 和 \(\tau\circ\sigma\) 也是 n 元置换，称为 \(\sigma,\tau\) 的乘积，记为 \(\sigma\tau\) 和 \(\tau\sigma\)

  • \(στ(i)=σ(τ(i))\)；
  • \(τσ(i)=τ(σ(i))\)；

恒等置换

记为 e ，为 S 上的恒等函数。显然它是置换乘法的单位元。

逆置换

对于某个置换 \(\sigma\)：

\[ \sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \quad \]

\(\sigma\)​ 关于(置换)乘法的逆置换是：

\[ \sigma= \begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)\\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix} \quad \]

对称群

\(S\) 上的所有 n 元置换关于置换乘法构成群，这个群称 n 元对称群（symmetric group），并记为 \(S_n\) , \(S_n\) 的任意子群都称作 n 元置换群（permutation group）。

轮换

若 S 上的 n 元置换 \(\sigma\) 满足：

\[ \sigma(i_1)=i_2,\ \ \ \sigma(i_2)=i_3,\ \cdots\ ,\ \sigma(i_{k-1})=i_k,\ \ \ \sigma(i_k)=i_1 \]

其中 \(i_j\in S,\ \ \ j=1,\cdots,k\) ；且满足其他元素不变，则称 \(\sigma\) 为 S 上的 k 阶轮换（cycle），记为：

\[ \sigma=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k) \]

特别地有：

  • 2 阶轮换也叫做对换
  • 1 阶轮换 \((1)\) 就是恒等置换

\(\sigma=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_r)\) 和 \(\tau=(j_1\ j_2\ \cdots\ j_s)\) 是两个轮换，如果对任意的 \(k=1,2,\cdots,r\) 及任意的 \(l=1,2,\cdots,s\) 都有 \(i_k\neq j_l\) ，称 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 是两个不相交的轮换， \(\sigma\) 和 \(\tau\) 不相交

轮换性质 1

设 \(σ\in S_n\) 是 n 阶置换，证明：\(σ(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k)σ^{-1}= (σ(i_1)\ σ(i_2 )\ \cdots\ σ(i_k ))\)

轮换性质1证明

轮换性质 2

不相交轮换的可交换性

任意两个不相交轮换的乘积可交换，即若 σ 和 τ 是两个不相交的轮换，则 \(στ=τσ\)

轮换性质2eg

轮换性质 3

置换的轮换表示

每个置换都可表示为一些不相交轮换的乘积

轮换性质3eg

Abstract

通常省略轮换表示中的一阶轮换，例如这里可以直接记为：\(σ=(1\ 5\ 2\ 3\ 6)(7\ 8)\)

置换的对换表示

任意置换都可表示成对换的乘积，因为任意轮换都可表示成对换的乘积

设 \(\sigma=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k)\) 是 \(S=\{1,2,\cdots,n\}\) 上的 k 阶轮换，则：

\[ \sigma=(i_1\ i_2)(i_2\ i_3)\cdots(i_{k-1}\ i_k) \]

轮换性质4证明

Warning

  • 置换的轮换表示中的轮换是不交的，而对换表示式中的对换是允许有交的
  • 轮换表示式在某种意义下（不考虑因子次序和 1 轮换个数）是惟一的，但对换表示式是不惟一的

轮换性质4eg1

轮换性质4eg2

Abstract

⭐一般地，k 阶轮换 \((i_1\ i_2\ i_3\ \cdots i_k)\) 也等于 \((i_1\ i_k)(i_1\ i_{k-1} )\cdots(i_1\ i_2)\)

奇偶性

一个置换表为对换的乘积，所用的对换个数的奇偶性是惟一的。

  • 可表示成偶数个对换的乘积的置换称为偶置换(even permutation)

  • 可表示成奇数个对换的乘积的置换称为奇置换(odd permutation)

  • 任何两个偶置换的积是偶置换；

  • 两个奇置换的积是偶置换；

  • 一个偶置换与一个奇置换的积是奇置换；

  • 一个偶置换的逆置换仍然是偶置换；

  • 一个奇置换的逆仍然是奇置换；

当 \(n>1\) 时，在全体 n 元置换中，奇置换与偶置换各有 \(\frac{n!}{2}\) 个

交错群

在 n 元对称群 S_n 中，全体偶置换构成 S_n 的子群称这个子群称为 n 元交错群 (alternative group)。

交错群eg

1 2 3
\(f_1\) 1 2 3
\(f_2\) 2 1 3
\(f_3\) 3 2 1
\(f_4\) 1 3 2
\(f_5\) 2 3 1
\(f_6\) 3 1 2

\(S_3\) 中的偶置换包括 \((1)\)（表示成 0 个对换的乘积）、\((1\ 2\ 3)=(1\ 2)(2\ 3)\) 和 \((1\ 3\ 2)=(1\ 3)(3\ 2)\) ，这些偶置换构成了 3 元交错群 \(A_3 = \{(1), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\} = \{f_1, f_5, f_6 \}\)。