置换群
置换群的定义¶
设
置换群的构成¶
置换乘法¶
设
; ;
恒等置换¶
记为 e ,为 S 上的恒等函数。显然它是置换乘法的单位元。
逆置换¶
对于某个置换
对称群¶
轮换¶
若 S 上的 n 元置换
其中
特别地有:
- 2 阶轮换也叫做对换
- 1 阶轮换
就是恒等置换
轮换性质 1¶
设
轮换性质 2¶
不相交轮换的可交换性
任意两个不相交轮换的乘积可交换,即若 σ 和 τ 是两个不相交的轮换,则
轮换性质 3¶
置换的轮换表示
每个置换都可表示为一些不相交轮换的乘积
Abstract
通常省略轮换表示中的一阶轮换,例如这里可以直接记为:
置换的对换表示¶
任意置换都可表示成对换的乘积,因为任意轮换都可表示成对换的乘积
设
Warning
- 置换的轮换表示中的轮换是不交的,而对换表示式中的对换是允许有交的
- 轮换表示式在某种意义下(不考虑因子次序和 1 轮换个数)是惟一的,但对换表示式是不惟一的
Abstract
一般地,k 阶轮换
奇偶性¶
一个置换表为对换的乘积,所用的对换个数的奇偶性是惟一的。
- 可表示成偶数个对换的乘积的置换称为偶置换(even permutation)
-
可表示成奇数个对换的乘积的置换称为奇置换(odd permutation)
-
任何两个偶置换的积是偶置换;
- 两个奇置换的积是偶置换;
-
一个偶置换与一个奇置换的积是奇置换;
-
一个偶置换的逆置换仍然是偶置换;
- 一个奇置换的逆仍然是奇置换;
当
交错群¶
在 n 元对称群 S_n 中,全体偶置换构成 S_n 的子群称这个子群称为 n 元交错群 (alternative group)。
1 | 2 | 3 | |
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1 | 2 | 3 | |
2 | 1 | 3 | |
3 | 2 | 1 | |
1 | 3 | 2 | |
2 | 3 | 1 | |
3 | 1 | 2 |