正规子群与商群

正规子群

定义

设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群 （得先是子群），如果 \(∀a\in G\) 都有 \(Ha=aH\) ，则称 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群 (normal subgroup) 或不变子群 (invariant subgroup)，记作:

\[ H\unlhd G \]

Warning

条件 \(Ha=aH\) 仅表示两个集合 \(Ha\) 与 \(aH\) 相等。不能错误地认为，由 \(Ha=aH\) 可推出对 \(H\) 的任意元素 \(h\) 有 \(ha=ah\)。

正确的理解是：对任意 \(h\in H\) ，存在 \(h^′\in H\) 使得 \(ha = ah'\)。

群 \(G\) 的单位元子群 \(\{e\}\) 和群 \(G\) 本身都是 \(G\) 的正规子群。这两个正规子群称为 \(G\) 的平凡正规子群。如果 \(G\) 只有平凡正规子群，且 \(G≠\{e\}\) ，则称 \(G\) 为单群(simple group)

交换群的子群

显然交换群 \(G\) 的任意子群都是 \(G\) 的正规子群

等价定义

设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，如果 \(H\) 的任意一个左陪集也是它的一个右陪集，则 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群

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证明：

对任意 \(a\in G\) ，\(H\) 的左陪集 \(aH\) 也是 \(H\) 的右陪集，即存在 \(b\in G\) ，使得 \(aH=Hb\) ;

同时 \(a\in aH\) ，因此 \(a\in Hb\) ；

而又有 \(a\in Ha\) ，所以 \(a\in Ha\cap Hb\) ；

根据陪集的性质有 \(Ha=Hb\) ，因此 \(Ha=Hb=aH\) ，因此 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群。

判定定理

设 \(G\) 是群，\(N\) 是 \(G\) 的子群，则下列四个条件等价：

1. \(N\) 是 \(G\) 的正规子群，即 \(\forall a\in G,\ \ \ aN=Na\)；
2. \(N\leq G\) 且 \(\forall a\in G,\ \ \ aNa^{-1}=N\)；
3. \(N\leq G\) 且 \(\forall a\in G,\ \ \ aNa^{-1}\subseteq N\)；
4. \(N\leq G\) 且 \(\forall a\in G,\forall n\in N,\ \ \ ana^{-1}\in N\)；

Info

这些命题都用集合语言表达，要证明的无非是集合相等或子集关系

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\(1\Rightarrow 2\)：

因为 \(N\unlhd G\) ，所以对任意的 \(a\in G\) ，有 \(Na=aN\) ，从而 \(aNa^{-1}=(Na)a^{-1}=N(aa^{-1})=N\)。

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\(2\Rightarrow 3\)：

显然 \(aNa^{-1}=N\) 蕴含 \(aNa^{-1}\subseteq N\)。

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\(3\Rightarrow 4\)：

显然 \(aNa^{-1}=N\) 蕴含 \(\forall a\in G,\forall n\in N,\ \ \ ana^{-1}\in N\)。

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\(4\Rightarrow 1\)：

若对任意 \(a\in G,n\in N\) 有 \(ana^{-1}\in N\) 从而可得：

\[ an=(ana^{-1})a\in Na \]

也就是得到 \(aN\subseteq Na\) ；

类似的，仍然由对任意 \(a\in G,n\in N\) 有 \(ana^{-1}\in N\) 可得：

\[ a^{-1}na=(a^{-1})n(a^{-1})^{-1}\in N \]

从而有：

\[ na=aa^{-1}na=a(a^{-1}na)\in aN \]

也就是得到 \(Na\subseteq aN\) ；

综合起来就有 \(Na=aN\) ，即 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群。

子集与正规子群

对于：

\[ H\subseteq K\subseteq G \]

• 若 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(H\) 也是 \(K\) 的正规子群
• 若 \(H\) 是 \(K\) 的正规子群，且 \(K\) 是 \(G\) 的正规子群，则推不出 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群！也就是正规子群关系 \(\unlhd/\unrhd\) 对子集关系不具有传递性

子群交保持正规子群

设 \(G\) 是群，\(H,K\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(H\cap K\) 也是 \(G\) 的正规子群

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证明

对于子群的交，首先由子群判定定理，不难得到当 \(H\) 和 \(K\) 是子群时，\(H\cap K\) 也是子群。

对任意 \(a\in G,h\in H\cap K\) ，由 \(H\) 和 \(K\) 是正规子群有 \(aha^{-1}\in H\) 且 \(aha^{-1}\in K\) ，从而 \(aha^{-1}\in H\cap K\) ，因此 \(H\cap K\) 也是正规子群。

子群乘保持正规子群

设 \(G\) 是群，\(H,K\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(HK\) 也是 \(G\) 的正规子群

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对于 \(HK\) ，首先对任意 \(h_1k_1,h_2k_2\in HK\) ，有 \(h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}\) ；

由于 \(K\) 是子群，有 \(k_1k_2^{-1}\in K\) ，即存在 \(k_1k_2^{-1}=k\in K\) ;

而 \(K\) 是正规子群，满足 \(h_1K=Kh_1\) ，所以存在 \(k'\in K\) 使得 \(h_1k=k'h_1\) ；

因此：

\[ h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=h_1kh_2^{-1}=k'h_1h_2^{-1} \]

由于 \(H\) 是子群，有 \(h_1h_2^{-1}\in H\) ，即存在 \(h_1h_2^{-1}=h\in H\) ;

而 \(K\) 是正规子群，满足 \(hK=Kh\) ，所以存在 \(k''\in K\) 使得 \(k'h=hk''\) ；

因此：

\[ h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=k'h_1h_2^{-1}=k'h=hk''\in HK \]

所以 \(HK\) 是 \(G\) 的子群。

进一步，对任意 \(a\in G,\ \ \ hk \in HK\) ，由 \(H\) 是正规子群，存在 \(h'\in H\) ，使得 \(ah= h'a\) ，从而有 \(ahka^{-1}=h'aka^{-1}\) ；

而 \(K\) 是正规子群，所以 \(aka^{-1}\in K\) ，所以 \(ahka^{-1} =h'aka^{-1}\in HK\) ，从而 \(HK\) 也是正规子群。

双陪集正规子群

名字乱起的，只为了好记

一个子群只有 2 个陪集，则它一定是正规子群

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证明

显然这 2 个陪集就是 \(H\) 和 \(G-H\)；

\(\forall a\in G\) ，若 \(a\in H\) ，则显然因为 \(e\in H\) ，所以 \(ae=ea=a\in H\) ，且 \(ae\in aH,ea\in Ha\) ，所以此时 \(aH=H=Ha\)；

若 \(a\notin H\) ，则因为 \(e\in H\) ，所以 \(ae=ea=a\notin H\) ，且 \(ae\in aH,ea\in Ha\) ，所以此时 \(aH\neq H,Ha\neq H\) ，所以 \(aH=G-H=Ha\)；

唯一阶正规子群

名字乱起的，只为了好记

若 \(H\) 是 \(G\) 的子群，则 \(\forall a\in G\) ，有 \(aHa^{-1}\) 也是 \(G\) 的子群，且 \(|H|=|aHa^{-1}|\)；

如果群 \(G\) 的子群 \(H\) 不与 \(G\) 的任意其他子群等势，则 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群.

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证明

\[ \forall h_1,h_2\in H,\ \ \ ah_1a^{-1},ah_2a^{-1}\in aHa^{-1}\\ ah_1a^{-1}(ah_2a^{-1})^{-1}=a(h_1h_2^{-1})a^{-1}\\ H\leq G\Rightarrow h_1h_2^{-1}\in H\\ \Rightarrow ah_1a^{-1}(ah_2a^{-1})^{-1}=a(h_1h_2^{-1})a^{-1}\in aHa^{-1} \]

可知 \(aHa^{-1}\) 也是 \(G\) 的子群。定义映射：

\[ \varphi:H\to aHa^{-1},\varphi(h)=aha^{-1} \]

显然容易证明 \(\varphi\) 是双函数，所以 \(|H|=|aHa^{-1}|\)。

正规子群的指标

设 \(G\) 是群，\(H\) 是 \(G\) 的正规子群，且 \([G:H]=m\) ，对任意 \(g\in G\) ，有 \(g^m\in H\)。

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证明：

\[ \forall g\in G,\ \ g^{m}\in H\Leftrightarrow \forall g\in G,\exists h\in H,\ \ g^{m}=h \]

而

\[ \begin{aligned} g^{m}&=h\\ g^{\frac{|G|}{|H|}}&=h\\ g^{|G|}&=h^{|H|}\\ e&=e \end{aligned} \]

商群

定义

对群 \(G\) 的正规子群 \(N\) ，不必区分左陪集 \(aN\) 和右陪集 \(Na\) ，直接称 \(aN\) 或 \(Na\) 为陪集。

用 \(G/N\) 表示它的所有陪集组成的集合，即 \(G/N=\{Na|a\in G\}\) ，可在 \(G/N\) 上定义运算 \(∘\) 使得 \(G/N\) 也构成群：

\[ ∀Na,Nb,\ \ Na∘Nb=Nab \]

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由于运算 \(∘\) 是根据陪集的代表（例如陪集 \(Na\) 的代表是 \(a\) ）定义的，因此也要验证运算 ∘ 的定义是合适的，即：

若 \(Na=Na', Nb=Nb'\) 时，需要有 \(Nab = Na'b'\)：

\[ Na'b'=(Na')b'=(Na)b'=(aN)b'=a(Nb')=a(Nb)=(aN)b=Nab \]

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证明运算 \(∘\) 使得 \(G/N\) 也构成群：

满足结合律；对任意的 \(a,b,c\in G\) ，有：

\[ \begin{aligned} (Ha\circ Hb)\circ Hc &=(Hab)\circ Hc\\ &=H(ab)c\\ &=Ha(bc)\\ &=Ha\circ Hbc\\ &=Ha\circ(Hb\circ Hc) \end{aligned} \]

单位元是 \(He=H\) ；对 \(\forall a\in G\) ，有：

\[ H\circ Ha=He\circ Ha=H\circ Ha=Ha\circ He=H(ae)=Ha \]

\(G/H\) 的每个元素 \(Ha\) 都有逆元 \(Ha^{-1}\in G\) ；对任意的 \(Ha\in G/H\) ，有 \(Ha^{-1}\in G/H\) ，且：

\[ Ha^{-1}\circ Ha=H(a^{-1}a)=He=H(aa^{-1})=Ha\circ Ha^{-1} \]

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设 \(G\) 为群，\(H\) 是 \(G\) 的正规子群。\(H\) 的所有陪集 \(G/H\) 关于上述运算 \(∘\) 构成的群称为群 \(G\) 关于（正规/不变）子群 \(H\) 的商群 (quotient group)，仍记作 \(G/H\) 。

Abstract

商群就是群依据某个正规子群得到的划分

商群元素的阶

设 \(G\) 是交换群，\(H\) 是 \(G\) 的所有阶数有限的元素构成的集合，则 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，且商群 \(G/H\) 只有单位元的阶数是有限的。

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证明

由于 \(G\) 是交换群，因此只要证明：

所有阶数有限的元素构成的集合 \(H=\{a|\exists k\in \mathbb{Z}^+,\ a^k = e\}\) ，这里 \(e\) 是 \(G\) 的单位元，只要证明 \(H\) 是 \(G\) 的子群即可。

对任意 \(a,b\in H\) ，存在 \(i,j\in \mathbb{Z}^+\) ，使得 \(a^i=e,\ b^j=e\) ，从而

\[ (ab^{-1})^{ij}=a^{ij}(b^{-1})^{ij}=(a^{i})^{j}(b^{j})^{-i}=e^{j}e^{-i}=e \]

因此 \(ab^{-1}\) 也是有限阶元，即 \(ab^{-1}\in H\) ，根据子群判定定理有 \(H\) 是 \(G\) 的子群。

而对 \(\forall h\in H,\forall g\in G\) ，易知 \(|ghg^{-1}|=|h|\) ，所以 \(ghg^{-1}\in H\) ，所以 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群。

要证明 \(G/H\) 只有单位元的阶数有限，只要证明它的任意元素，如果阶数有限，则这个元素就是单位元。

对于任意陪集 \(xH\in G/H\) ，如果它是有限阶的，即存在正整数 \(k\) 使得 \((xH)^{k}=x^{k}H=H\) ，从而 \(x^{k}\in H\) ，即 \(x^{k}\) 是有限阶的，从而存在正整数 \(j\) 使得 \((x^{k})^{j}=x^{kj}=e\) ，这意味着 \(x\) 也是有限阶的，即 \(x\in H\) ，从而 \(xH=H\) 是单位元，因此在商群 \(G/H\) 中，只有单位元 \(H\) 是有限阶的。

商群保持循环群

设 \(H\) 是循环群 \(G\) 的正规子群，则其商群 \(G/H\) 也是循环群。

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显然若 \(a\) 是 \(H\) 的生成元，则 \(aH\) 也是 \(G/H\) 的生成元

有限交换群性质

\(G\) 是 \(n\) 阶有限交换群，则对 \(n\) 的任意素因子 \(p\) ，\(G\) 必有 \(p\) 阶元。

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证明：对 \(n\) 使用数学归纳法。

（归纳基）显然当 \(n=2\) 时，任意 2 阶群都有 2 阶元。

Abstract

显然 2 阶群 \(\{e,a\}\) 一定满足 \(a^2=aa^{-1}=e\)，因为唯一的非单位元的逆一定是它自己。

（归纳步）对于 \(n=k+1\) ，假设对于任意 \(2,3,\cdots,k\) 阶有限交换群，对于群的阶的任意素因子 \(p\) 都有 \(p\) 阶元，考虑 \(k+1\) 阶有限交换群 \(G\) ，考虑 \(p\) 是 \(k+1\) 的任意素因子。

Abstract

为应用归纳假设，需要考虑阶数比 \(k+1\) 阶小的有限交换群 \(G'\)，而且 \(G'\) 与 \(G\) 有许多相似的性质，这样就需要利用商群的构造：即找到正规子群 \(H\) ；

由于 \(G\) 是交换群，所以子群 \(H\) 就是正规子群，使得 \(G'=G/H\) ，\(G/H\) 的阶是 \(G\) 的阶除以 \(H\) 的阶，只要 \(H\) 不是只有单位元，那么 \(G/H\) 的阶比 \(G\) 的阶小。

对于 \(G\) 的阶 \(k+1\) 的素因子 \(p\)：

（1）如果 \(p\) 是 \(|a|\) 的因子，则：

\[ \exists s\in\mathbb{Z}^+,\ \ |a|=sp\\ |a^s|=\frac{|a|}{\gcd(|a|,s)}=\frac{|a|}{s}=p \]

所以 \(a^s\) 就是 \(p\) 阶元。

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（2）如果 \(p\) 不是 \(|a|\) 的因子，则：

令 \(H=<a>\) 为 \(a\) 的输出子群，\(|H|=|a|\)，则因为 \(G\) 是交换群，所以 \(H\) 是正规子群。

商群 \(G/H\) 仍是交换群，且：\(|G/H|=\frac{k+1}{|a|}\lt k+1\)；

\(p\) 是 \(k+1=\frac{k+1}{|a|}|a|\) 的素因子，且 \(p\) 不是 \(|a|\) 的因子，由数论知识得到 \(p\) 就是 \(\frac{k+1}{|a|}\) 的因子；

所以由归纳假设， \(\exists bH\in G/H,\ \ |bH|=p\) ；所以 \((bH)^p=b^pH=H\) ，所以 \(b^p\in H\) ；且 \(|H|=|a|\) ，所以 \((b^{p})^{|a|}=(b^{|a|})^p=e\) ；

另一方面，由于 \(p\) 不是 \(|a|\) 的因子，所以由 \(|bH|=p\) 可得 \(b^{|a|}H=(bH)^{|a|}\neq H\)；所以 \(b^{|a|}\notin H\) ，所以 \(b^{|a|}\neq e\) ；

所以 \(b^{|a|}\) 就是 \(p\) 阶元