正规子群与商群

正规子群¶

定义¶

设 $H$ 是群 $G$ 的子群（得先是子群），如果 $\forall a \in G$ 都有 $H a = a H$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群 (normal subgroup) 或不变子群 (invariant subgroup)，记作:

H ⊴ G

Warning

条件 $H a = a H$ 仅表示两个集合 $H a$ 与 $a H$ 相等。不能错误地认为，由 $H a = a H$ 可推出对 $H$ 的任意元素 $h$ 有 $h a = a h$ 。

正确的理解是：对任意 $h \in H$ ，存在 $h^{'} \in H$ 使得 $h a = a h^{'}$ 。

群 $G$ 的单位元子群 ${e}$ 和群 $G$ 本身都是 $G$ 的正规子群。这两个正规子群称为 $G$ 的平凡正规子群。如果 $G$ 只有平凡正规子群，且 $G \neq {e}$ ，则称 $G$ 为单群(simple group)

交换群的子群¶

显然交换群 $G$ 的任意子群都是 $G$ 的正规子群

等价定义¶

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，如果 $H$ 的任意一个左陪集也是它的一个右陪集，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群

证明：

对任意 $a \in G$ ， $H$ 的左陪集 $a H$ 也是 $H$ 的右陪集，即存在 $b \in G$ ，使得 $a H = H b$ ;

同时 $a \in a H$ ，因此 $a \in H b$ ；

而又有 $a \in H a$ ，所以 $a \in H a \cap H b$ ；

根据陪集的性质有 $H a = H b$ ，因此 $H a = H b = a H$ ，因此 $H$ 是 $G$ 的正规子群。

判定定理¶

设 $G$ 是群， $N$ 是 $G$ 的子群，则下列四个条件等价：

$N$ 是 $G$ 的正规子群，即 $\forall a \in G, a N = N a$ ；
$N \leq G$ 且 $\forall a \in G, a N a^{- 1} = N$ ；
$N \leq G$ 且 $\forall a \in G, a N a^{- 1} \subseteq N$ ；
$N \leq G$ 且 $\forall a \in G, \forall n \in N, a n a^{- 1} \in N$ ；

Info

这些命题都用集合语言表达，要证明的无非是集合相等或子集关系

$1 \Rightarrow 2$ ：

因为 $N ⊴ G$ ，所以对任意的 $a \in G$ ，有 $N a = a N$ ，从而 $a N a^{- 1} = (N a) a^{- 1} = N (a a^{- 1}) = N$ 。

$2 \Rightarrow 3$ ：

显然 $a N a^{- 1} = N$ 蕴含 $a N a^{- 1} \subseteq N$ 。

$3 \Rightarrow 4$ ：

显然 $a N a^{- 1} = N$ 蕴含 $\forall a \in G, \forall n \in N, a n a^{- 1} \in N$ 。

$4 \Rightarrow 1$ ：

若对任意 $a \in G, n \in N$ 有 $a n a^{- 1} \in N$ 从而可得：

a n = (a n a^{- 1}) a \in N a

也就是得到 $a N \subseteq N a$ ；

类似的，仍然由对任意 $a \in G, n \in N$ 有 $a n a^{- 1} \in N$ 可得：

a^{- 1} n a = (a^{- 1}) n (a^{- 1})^{- 1} \in N

从而有：

n a = a a^{- 1} n a = a (a^{- 1} n a) \in a N

也就是得到 $N a \subseteq a N$ ；

综合起来就有 $N a = a N$ ，即 $N$ 是 $G$ 的正规子群。

子集与正规子群¶

对于：

H \subseteq K \subseteq G

若 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $H$ 也是 $K$ 的正规子群
若 $H$ 是 $K$ 的正规子群，且 $K$ 是 $G$ 的正规子群，则推不出 $H$ 是 $G$ 的正规子群！也就是正规子群关系 $⊴ / ⊵$ 对子集关系不具有传递性

子群交保持正规子群¶

设 $G$ 是群， $H, K$ 是 $G$ 的正规子群，则 $H \cap K$ 也是 $G$ 的正规子群

证明

对于子群的交，首先由子群判定定理，不难得到当 $H$ 和 $K$ 是子群时， $H \cap K$ 也是子群。

对任意 $a \in G, h \in H \cap K$ ，由 $H$ 和 $K$ 是正规子群有 $a h a^{- 1} \in H$ 且 $a h a^{- 1} \in K$ ，从而 $a h a^{- 1} \in H \cap K$ ，因此 $H \cap K$ 也是正规子群。

子群乘保持正规子群¶

设 $G$ 是群， $H, K$ 是 $G$ 的正规子群，则 $H K$ 也是 $G$ 的正规子群

对于 $H K$ ，首先对任意 $h_{1} k_{1}, h_{2} k_{2} \in H K$ ，有 $h_{1} k_{1} (h_{2} k_{2})^{- 1} = h_{1} k_{1} k_{2}^{- 1} h_{2}^{- 1}$ ；

由于 $K$ 是子群，有 $k_{1} k_{2}^{- 1} \in K$ ，即存在 $k_{1} k_{2}^{- 1} = k \in K$ ;

而 $K$ 是正规子群，满足 $h_{1} K = K h_{1}$ ，所以存在 $k^{'} \in K$ 使得 $h_{1} k = k^{'} h_{1}$ ；

因此：

h_{1} k_{1} (h_{2} k_{2})^{- 1} = h_{1} k_{1} k_{2}^{- 1} h_{2}^{- 1} = h_{1} k h_{2}^{- 1} = k^{'} h_{1} h_{2}^{- 1}

由于 $H$ 是子群，有 $h_{1} h_{2}^{- 1} \in H$ ，即存在 $h_{1} h_{2}^{- 1} = h \in H$ ;

而 $K$ 是正规子群，满足 $h K = K h$ ，所以存在 $k^{″} \in K$ 使得 $k^{'} h = h k^{″}$ ；

因此：

h_{1} k_{1} (h_{2} k_{2})^{- 1} = k^{'} h_{1} h_{2}^{- 1} = k^{'} h = h k^{″} \in H K

所以 $H K$ 是 $G$ 的子群。

进一步，对任意 $a \in G, h k \in H K$ ，由 $H$ 是正规子群，存在 $h^{'} \in H$ ，使得 $a h = h^{'} a$ ，从而有 $a h k a^{- 1} = h^{'} a k a^{- 1}$ ；

而 $K$ 是正规子群，所以 $a k a^{- 1} \in K$ ，所以 $a h k a^{- 1} = h^{'} a k a^{- 1} \in H K$ ，从而 $H K$ 也是正规子群。

双陪集正规子群¶

名字乱起的，只为了好记

一个子群只有 2 个陪集，则它一定是正规子群

证明

显然这 2 个陪集就是 $H$ 和 $G - H$ ；

$\forall a \in G$ ，若 $a \in H$ ，则显然因为 $e \in H$ ，所以 $a e = e a = a \in H$ ，且 $a e \in a H, e a \in H a$ ，所以此时 $a H = H = H a$ ；

若 $a \notin H$ ，则因为 $e \in H$ ，所以 $a e = e a = a \notin H$ ，且 $a e \in a H, e a \in H a$ ，所以此时 $a H \neq H, H a \neq H$ ，所以 $a H = G - H = H a$ ；

唯一阶正规子群¶

名字乱起的，只为了好记

若 $H$ 是 $G$ 的子群，则 $\forall a \in G$ ，有 $a H a^{- 1}$ 也是 $G$ 的子群，且 $| H | = | a H a^{- 1} |$ ；

如果群 $G$ 的子群 $H$ 不与 $G$ 的任意其他子群等势，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群.

证明

\forall h_{1}, h_{2} \in H, a h_{1} a^{- 1}, a h_{2} a^{- 1} \in a H a^{- 1} a h_{1} a^{- 1} (a h_{2} a^{- 1})^{- 1} = a (h_{1} h_{2}^{- 1}) a^{- 1} H \leq G \Rightarrow h_{1} h_{2}^{- 1} \in H \Rightarrow a h_{1} a^{- 1} (a h_{2} a^{- 1})^{- 1} = a (h_{1} h_{2}^{- 1}) a^{- 1} \in a H a^{- 1}

可知 $a H a^{- 1}$ 也是 $G$ 的子群。定义映射：

φ : H \to a H a^{- 1}, φ (h) = a h a^{- 1}

显然容易证明 $φ$ 是双函数，所以 $| H | = | a H a^{- 1} |$ 。

正规子群的指标¶

设 $G$ 是群， $H$ 是 $G$ 的正规子群，且 $[G : H] = m$ ，对任意 $g \in G$ ，有 $g^{m} \in H$ 。

证明：

\forall g \in G, g^{m} \in H \Leftrightarrow \forall g \in G, \exists h \in H, g^{m} = h

而

\begin{aligned} g^{m} & = h \\ g^{\frac{| G |}{| H |}} & = h \\ g^{| G |} & = h^{| H |} \\ e & = e \end{aligned}

商群¶

定义¶

对群 $G$ 的正规子群 $N$ ，不必区分左陪集 $a N$ 和右陪集 $N a$ ，直接称 $a N$ 或 $N a$ 为陪集。

用 $G / N$ 表示它的所有陪集组成的集合，即 $G / N = {N a | a \in G}$ ，可在 $G / N$ 上定义运算 $\circ$ 使得 $G / N$ 也构成群：

\forall N a, N b, N a \circ N b = N a b

由于运算 $\circ$ 是根据陪集的代表（例如陪集 $N a$ 的代表是 $a$ ）定义的，因此也要验证运算 ∘ 的定义是合适的，即：

若 $N a = N a^{'}, N b = N b^{'}$ 时，需要有 $N a b = N a^{'} b^{'}$ ：

N a^{'} b^{'} = (N a^{'}) b^{'} = (N a) b^{'} = (a N) b^{'} = a (N b^{'}) = a (N b) = (a N) b = N a b

证明运算 $\circ$ 使得 $G / N$ 也构成群：

满足结合律；对任意的 $a, b, c \in G$ ，有：

\begin{aligned} (H a \circ H b) \circ H c & = (H a b) \circ H c \\ = H (a b) c \\ = H a (b c) \\ = H a \circ H b c \\ = H a \circ (H b \circ H c) \end{aligned}

单位元是 $H e = H$ ；对 $\forall a \in G$ ，有：

H \circ H a = H e \circ H a = H \circ H a = H a \circ H e = H (a e) = H a

$G / H$ 的每个元素 $H a$ 都有逆元 $H a^{- 1} \in G$ ；对任意的 $H a \in G / H$ ，有 $H a^{- 1} \in G / H$ ，且：

H a^{- 1} \circ H a = H (a^{- 1} a) = H e = H (a a^{- 1}) = H a \circ H a^{- 1}

设 $G$ 为群， $H$ 是 $G$ 的正规子群。 $H$ 的所有陪集 $G / H$ 关于上述运算 $\circ$ 构成的群称为群 $G$ 关于（正规/不变）子群 $H$ 的商群 (quotient group)，仍记作 $G / H$ 。

Abstract

商群就是群依据某个正规子群得到的划分

商群元素的阶¶

设 $G$ 是交换群， $H$ 是 $G$ 的所有阶数有限的元素构成的集合，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群，且商群 $G / H$ 只有单位元的阶数是有限的。

证明

由于 $G$ 是交换群，因此只要证明：

所有阶数有限的元素构成的集合 $H = {a | \exists k \in Z^{+}, a^{k} = e}$ ，这里 $e$ 是 $G$ 的单位元，只要证明 $H$ 是 $G$ 的子群即可。

对任意 $a, b \in H$ ，存在 $i, j \in Z^{+}$ ，使得 $a^{i} = e, b^{j} = e$ ，从而

(a b^{- 1})^{i j} = a^{i j} (b^{- 1})^{i j} = (a^{i})^{j} (b^{j})^{- i} = e^{j} e^{- i} = e

因此 $a b^{- 1}$ 也是有限阶元，即 $a b^{- 1} \in H$ ，根据子群判定定理有 $H$ 是 $G$ 的子群。

而对 $\forall h \in H, \forall g \in G$ ，易知 $| g h g^{- 1} | = | h |$ ，所以 $g h g^{- 1} \in H$ ，所以 $H$ 是 $G$ 的正规子群。

要证明 $G / H$ 只有单位元的阶数有限，只要证明它的任意元素，如果阶数有限，则这个元素就是单位元。

对于任意陪集 $x H \in G / H$ ，如果它是有限阶的，即存在正整数 $k$ 使得 $(x H)^{k} = x^{k} H = H$ ，从而 $x^{k} \in H$ ，即 $x^{k}$ 是有限阶的，从而存在正整数 $j$ 使得 $(x^{k})^{j} = x^{k j} = e$ ，这意味着 $x$ 也是有限阶的，即 $x \in H$ ，从而 $x H = H$ 是单位元，因此在商群 $G / H$ 中，只有单位元 $H$ 是有限阶的。

商群保持循环群¶

设 $H$ 是循环群 $G$ 的正规子群，则其商群 $G / H$ 也是循环群。

显然若 $a$ 是 $H$ 的生成元，则 $a H$ 也是 $G / H$ 的生成元

有限交换群性质¶

$G$ 是 $n$ 阶有限交换群，则对 $n$ 的任意素因子 $p$ ， $G$ 必有 $p$ 阶元。

证明：对 $n$ 使用数学归纳法。

（归纳基）显然当 $n = 2$ 时，任意 2 阶群都有 2 阶元。

Abstract

显然 2 阶群 ${e, a}$ 一定满足 $a^{2} = a a^{- 1} = e$ ，因为唯一的非单位元的逆一定是它自己。

（归纳步）对于 $n = k + 1$ ，假设对于任意 $2, 3, \dots, k$ 阶有限交换群，对于群的阶的任意素因子 $p$ 都有 $p$ 阶元，考虑 $k + 1$ 阶有限交换群 $G$ ，考虑 $p$ 是 $k + 1$ 的任意素因子。

Abstract

为应用归纳假设，需要考虑阶数比 $k + 1$ 阶小的有限交换群 $G^{'}$ ，而且 $G^{'}$ 与 $G$ 有许多相似的性质，这样就需要利用商群的构造：即找到正规子群 $H$ ；

由于 $G$ 是交换群，所以子群 $H$ 就是正规子群，使得 $G^{'} = G / H$ ， $G / H$ 的阶是 $G$ 的阶除以 $H$ 的阶，只要 $H$ 不是只有单位元，那么 $G / H$ 的阶比 $G$ 的阶小。

对于 $G$ 的阶 $k + 1$ 的素因子 $p$ ：

（1）如果 $p$ 是 $| a |$ 的因子，则：

\exists s \in Z^{+}, | a | = s p | a^{s} | = \frac{| a |}{gcd (| a |, s)} = \frac{| a |}{s} = p

所以 $a^{s}$ 就是 $p$ 阶元。

（2）如果 $p$ 不是 $| a |$ 的因子，则：

令 $H =< a >$ 为 $a$ 的输出子群， $| H | = | a |$ ，则因为 $G$ 是交换群，所以 $H$ 是正规子群。

商群 $G / H$ 仍是交换群，且： $| G / H | = \frac{k + 1}{| a |} < k + 1$ ；

$p$ 是 $k + 1 = \frac{k + 1}{| a |} | a |$ 的素因子，且 $p$ 不是 $| a |$ 的因子，由数论知识得到 $p$ 就是 $\frac{k + 1}{| a |}$ 的因子；

所以由归纳假设， $\exists b H \in G / H, | b H | = p$ ；所以 $(b H)^{p} = b^{p} H = H$ ，所以 $b^{p} \in H$ ；且 $| H | = | a |$ ，所以 $(b^{p})^{| a |} = (b^{| a |})^{p} = e$ ；

另一方面，由于 $p$ 不是 $| a |$ 的因子，所以由 $| b H | = p$ 可得 $b^{| a |} H = (b H)^{| a |} \neq H$ ；所以 $b^{| a |} \notin H$ ，所以 $b^{| a |} \neq e$ ；

所以 $b^{| a |}$ 就是 $p$ 阶元