群的同态与同构

群的同态

定义

设 \(G\) 与 \(G'\) 是两个群，函数 \(φ:G→G'\)如果满足：

\[ ∀a,b\in G,\ \ φ(ab)= φ(a)φ(b) \]

则 \(φ\) 是群 \(G\) 到 \(G'\) 的同态(homomorphism)（一个函数）

Abstract

\(φ(a)φ(b)\) 是 \(G'\) 中的运算，而 \(ab\) 是 \(G\) 中的运算

考察同态 \(\varphi\) 作为函数的性质，可以将同态分为：

• 如果 \(G=G'\) ，则称 \(φ\) 为自同态(automorphism)；
• 如果同态 \(φ:G→G'\) 是满函数，则称为满同态(epimorphism)，并称 \(G\) 与 \(G'\) 同态，记为\(φ:G∼G'\)；
• 如果同态 \(φ:G→G'\) 是单函数，则称为单同态(monomorphism)；
• 如果同态 \(φ:G→G'\) 是双函数，则称为同构(isomorphism)，并称群 \(G\) 与 \(G'\) 同构，记为 \(φ:G≅G'\)；

群同态的单位元

若 \(e\) 是 \(G\) 的单位元，则 \(\varphi(e)\) 是 \(G'\) 的单位元；

设 \(G'\) 的单位元 \(e'\) ，则:

\[ \varphi(e)\varphi(e)=\varphi(ee)=\varphi(e)=\varphi(e)e' \]

从而由群的运算满足消去律得 \(\varphi(e)=e'\) 。

群同态的逆元

群同态与求逆元操作可交换：

\[ \forall a\in G,\ \ (\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1}) \]

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证明， 对任意的 \(a\in G\) :

\[ \varphi(a^{-1})\varphi(a)=\varphi(a^{-1}a)=\varphi(e)=e'\\ \varphi(a)\varphi(a^{-1})=\varphi(aa^{-1})=\varphi(e)=e' \]

这就表明在群 \(G'\) 中，\(\varphi(a)\) 的逆元是 \(\varphi(a^{-1})\) ，即 \(\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1})\) 。

群同态例子

设 \(G,G'\) 是群，\(e'\) 是 \(G'\) 的单位元，函数 \(φ:G→G'\) ，\(∀a\in G,\ \ φ(a)=e'\) ，\(\varphi\) 是同态，称为 \(G\) 到 \(G'\) 的零同态

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对于整数加群 \((Z,+)\) 和模 n 加群 \((Z_n,⊕_n)\) ，函数 \(φ:Z→Z_n\) ，\(∀z\in Z, φ(z)= z \bmod n\)， \(\varphi\) 是满同态：

\[ \begin{aligned} &∀z_1, z_2\in Z,\\ φ(z_1+z_2 )&=(z_1+z_2 )\bmod n\\ &= (z_1 \bmod n) ⊕_n (z_2 \bmod n)\\ &= φ(z_1 ) ⊕_n φ(z_2 ) \end{aligned} \]

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对于实数加群 \((\mathbb R,+)\) 和非零实数集关于乘法构成的群 \((\mathbb R^*, \cdot )\) ，固定某实数 \(a\in \mathbb R(a≠0,1)\) ，定义 \(φ:\mathbb R→\mathbb R^*,\ \ ∀r\in \mathbb R, φ(r)= a^r\) ，\(\varphi\) 是单同态：

\[ \begin{aligned} &∀r,r'\in \mathbb R,\\ φ(r+r')&=a^{r+r'}\\ &=a^r\cdot a^{r'}\\ &=φ(r)\cdot φ(r') \end{aligned} \]

群的同构

内自同构

平移与正则表示

左平移、左正则表示的定义如下：

置换群 \(G_l\) 称为群 \(G\) 的左正则表示(left regular representation)，左乘置换 \(φ_a\) 称为由元素 \(a\) 确定的左平移(left translation)。

Abstract

当然，类似的可以定义右平移、右正则表示

凯莱定理

每个群都同构与一个置换群（变换群）

循环群的结构定理

1. \(G=<a>\) 是无限循环群，则 \(G\cong(\mathbb Z,+)\) ；
2. \(G=<a>\) 是 \(n\) 阶循环群，则 \(G\cong(\mathbb Z_n,\oplus_n)\) ；

Abstract

无限循环群中 \(a^k=a^l\) 蕴涵 \(k=l\) ；

在 \(n\) 阶循环群中 \(a^k=a^l\) 蕴涵 \(n|k-l\) ；

群同态的基本性质

群同态与元素的阶

群同态与子群

特别地， \(H=G\) 的时候这里就有：

\[ \varphi(G)\leq G' \]

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群同态与正规子群

Abstract

\(\varphi(N)\) 不一定是 \(G'\) 的正规子群！\(\varphi^{-1}(M)\) 不一定是 \(G\) 的正规子群！

群的同态基本定理

群同态的核

定义

:: primary

所有同态映射结果为单位元的原像的集合

核是正规子群

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由上述引理可证：

设 \(\varphi:G\to G'\) 是群 \(G\) 到群 \(G'\) 的同态，则 \(\text{Ker}(\varphi)\) 是 \(G\) 的正规子群，也就是 \(\text{Ker}(\varphi)\leq G\) 。

群的同态基本定理

::: primaty

结合群同态与子群的关系，就有：商群 \(G/\text{Ker}(\varphi)\cong\varphi(G)=G'\text{的某个子群}\leq G'\)

正规子群与商群

由正规子群导出的商群的自然映射是满同态，且它的核是该正规子群，由群的同态基本定理有该正规子群与其导出的商群同构。

应用举例

第二同构定理

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证明

(1) 利用子群判定定理证明：\(∀h_1,h_2\in H,k_1,k_2\in K,\ \ (h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}\in HK\)。

(2) 利用正规子群判断定理证明：对任意 \(h\in H, n\in H\cap K, hnh^{-1}\in H\cap K\)；以及对 \(\forall h_1\in H,\forall k_1\in K,\forall n\in K\) ，有：\((h_1k_1)n(h_1k_1)^{-1}\in HK\) 。

(3) 构造同态 \(φ:H→ HK/K\) ，使得 \(\text{Ker}(φ)=H\cap K\)。

第三同构定理

\(\mathbb Z_m\)到\(\mathbb Z_n\)的同态数

结论——所有 \(\mathbb Z_m\) 到 \(\mathbb Z_n\) 的同态映射如下：

\[ \{\varphi_a:\overline{x}\to a\overline{x}|a=0,\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},2\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},3\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},\cdots,[\gcd(m,n)-1]\frac{\text{lcm}(m,n)}{m}=n-\frac{\text{lcm}(m,n)}{m}\} \]

总共有 \(\gcd(m,n)\) 个同态映射。

Abstract

上面的两个 \(\overline{x}\) (\(\overline{x}\to a\overline{x}\)) ，我们虽然使用了同一个记号，但它们代表的意义是不同的：

• 前一个表示的是 \(\mathbb Z_m\) 中的剩余类 \(\{x+mz|z\in\mathbb Z\}\)；
• 后一个表示的是 \(\mathbb Z_n\) 中的剩余类 \(\{x+nz|z\in\mathbb Z\}\)；

今后，在遇到此类情况时,我们都采用这样的记号，不再一一说明。读者应根据上下文，了解两个 \(\overline{x}\) 的不同含义，以免混淆。

摘抄自《近世代数》(第二版, 韩士安, 林磊) 的参考答案。