群的同态与同构

群的同态

定义

设 $G$ 与 $G^{\prime }$ 是两个群，函数 $\phi :G\to G^{\prime }$如果满足：

$$\forall a,b\in G,\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$$

则 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime }$ 的同态(homomorphism)（一个函数）

Abstract

$\phi (a)\phi (b)$ 是 $G^{\prime }$ 中的运算，而 $ab$ 是 $G$ 中的运算

考察同态 $\phi$ 作为函数的性质，可以将同态分为：

• 如果 $G=G^{\prime }$ ，则称 $\phi$ 为自同态(automorphism)；
• 如果同态 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是满函数，则称为满同态(epimorphism)，并称 $G$ 与 $G^{\prime }$ 同态，记为$\phi :G\sim G^{\prime }$；
• 如果同态 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是单函数，则称为单同态(monomorphism)；
• 如果同态 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是双函数，则称为同构(isomorphism)，并称群 $G$ 与 $G^{\prime }$ 同构，记为 $\phi :G\cong G^{\prime }$；

群同态的单位元

若 $e$ 是 $G$ 的单位元，则 $\phi (e)$ 是 $G^{\prime }$ 的单位元；

设 $G^{\prime }$ 的单位元 $e^{\prime }$ ，则:

$$\phi (e)\phi (e)=\phi (ee)=\phi (e)=\phi (e)e^{\prime }$$

从而由群的运算满足消去律得 $\phi (e)=e^{\prime }$ 。

群同态的逆元

群同态与求逆元操作可交换：

$$\mathrm{\forall }a\in G,(\phi (a){)}^{-1}=\phi (a^{-1})$$

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证明， 对任意的 $a\in G$ :

$$\begin{gathered} \phi (a^{-1})\phi (a)=\phi (a^{-1}a)=\phi (e)=e^{\prime } \\ \phi (a)\phi (a^{-1})=\phi (a{a}^{-1})=\phi (e)=e^{\prime } \end{gathered}$$

这就表明在群 $G^{\prime }$ 中，$\phi (a)$ 的逆元是 $\phi (a^{-1})$ ，即 $\phi (a){)}^{-1}=\phi (a^{-1})$ 。

群同态例子

设 $G,G^{\prime }$ 是群，$e^{\prime }$ 是 $G^{\prime }$ 的单位元，函数 $\phi :G\to G^{\prime }$ ，$\forall a\in G,\phi (a)=e^{\prime }$ ，$\phi$ 是同态，称为 $G$ 到 $G^{\prime }$ 的零同态

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对于整数加群 $(Z,+)$ 和模 n 加群 $(Z_n,{\oplus }_n)$ ，函数 $\phi :Z\to Z_n$ ，$\forall z\in Z,\phi (z)=zmodn$， $\phi$ 是满同态：

$$\begin{array}{rl}& \forall z_1,z_2\in Z,\\ \phi (z_1+z_2)& =(z_1+z_2)modn\\ & =(z_{1}modn){\oplus }_n(z_{2}modn)\\ & =\phi (z_1){\oplus }_n\phi (z_2)\end{array}$$

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对于实数加群 $(\mathbb{R},+)$ 和非零实数集关于乘法构成的群 $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ ，固定某实数 $a\in \mathbb{R}(a\ne 0,1)$ ，定义 $\phi :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{\ast },\forall r\in \mathbb{R},\phi (r)=a^r$ ，$\phi$ 是单同态：

$$\begin{array}{rl}& \forall r,r^{\prime }\in \mathbb{R},\\ \phi (r+r^{\prime })& =a^{r+r^{\prime }}\\ & =a^r\cdot a^{r^{\prime }}\\ & =\phi (r)\cdot \phi (r^{\prime })\end{array}$$

群的同构

内自同构

平移与正则表示

左平移、左正则表示的定义如下：

置换群 $G_l$ 称为群 $G$ 的左正则表示(left regular representation)，左乘置换 ${\phi }_a$ 称为由元素 $a$ 确定的左平移(left translation)。

Abstract

当然，类似的可以定义右平移、右正则表示

凯莱定理

每个群都同构与一个置换群（变换群）

循环群的结构定理

1. $G=<a>$ 是无限循环群，则 $G\cong (\mathbb{Z},+)$ ；
2. $G=<a>$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G\cong ({\mathbb{Z}}_n,{\oplus }_n)$ ；

Abstract

无限循环群中 $a^k=a^l$ 蕴涵 $k=l$ ；

在 $n$ 阶循环群中 $a^k=a^l$ 蕴涵 $n|k-l$ ；

群同态的基本性质

群同态与元素的阶

群同态与子群

特别地， $H=G$ 的时候这里就有：

$$\phi (G)\le G^{\prime }$$

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群同态与正规子群

Abstract

$\phi (N)$ 不一定是 $G^{\prime }$ 的正规子群！${\phi }^{-1}(M)$ 不一定是 $G$ 的正规子群！

群的同态基本定理

群同态的核

定义

:: primary

所有同态映射结果为单位元的原像的集合

核是正规子群

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由上述引理可证：

设 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime }$ 的同态，则 $\text{Ker}(\phi )$ 是 $G$ 的正规子群，也就是 $\text{Ker}(\phi )\le G$ 。

群的同态基本定理

::: primaty

结合群同态与子群的关系，就有：商群 $G/\text{Ker}(\phi )\cong \phi (G)=G^{\prime }\text{的某个子群}\le G^{\prime }$

正规子群与商群

由正规子群导出的商群的自然映射是满同态，且它的核是该正规子群，由群的同态基本定理有该正规子群与其导出的商群同构。

应用举例

第二同构定理

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证明

(1) 利用子群判定定理证明：$\forall h_1,h_2\in H,k_1,k_2\in K,(h_1{k}_1)(h_2{k}_2{)}^{-1}\in HK$。

(2) 利用正规子群判断定理证明：对任意 $h\in H,n\in H\cap K,hn{h}^{-1}\in H\cap K$；以及对 $\mathrm{\forall }{h}_1\in H,\mathrm{\forall }{k}_1\in K,\mathrm{\forall }n\in K$ ，有：$(h_1{k}_1)n(h_1{k}_1{)}^{-1}\in HK$ 。

(3) 构造同态 $\phi :H\to HK/K$ ，使得 $\text{Ker}(\phi )=H\cap K$。

第三同构定理

${\mathbb{Z}}_m$到${\mathbb{Z}}_n$的同态数

结论——所有 ${\mathbb{Z}}_m$ 到 ${\mathbb{Z}}_n$ 的同态映射如下：

$$\{{\phi }_a:\bar{x}\to a\bar{x}|a=0,\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},2\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},3\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},\cdots ,[gcd(m,n)-1]\frac{\text{lcm}(m,n)}{m}=n-\frac{\text{lcm}(m,n)}{m}\}$$

总共有 $gcd(m,n)$ 个同态映射。

Abstract

上面的两个 $\bar{x}$ ($\bar{x}\to a\bar{x}$) ，我们虽然使用了同一个记号，但它们代表的意义是不同的：

• 前一个表示的是 ${\mathbb{Z}}_m$ 中的剩余类 $\{x+mz|z\in \mathbb{Z}\}$；
• 后一个表示的是 ${\mathbb{Z}}_n$ 中的剩余类 $\{x+nz|z\in \mathbb{Z}\}$；

今后，在遇到此类情况时,我们都采用这样的记号，不再一一说明。读者应根据上下文，了解两个 $\bar{x}$ 的不同含义，以免混淆。

摘抄自《近世代数》(第二版, 韩士安, 林磊) 的参考答案。