群论基础
群(Group)的定义¶
如果集合 G 及其二元运算
- 二元运算
满足结合律:即 有 ; - 有单位元
,即存在 ,使得 有 ; 关于 有逆元 ,即 ,存在 ,使得 ,记 为 ;
从代数系统角度说,群有三个运算:
- 二元运算
; - 一元运算
; - 零元运算
;
其中二元运算占主导地位,在谈到群时经常只明确给出它的二元运算。进一步,在上下文能明确其运算时,人们通常直接称集合
如果集合
如果
常用群举例¶
整数加群¶
整数集 Z 及整数加法运算构成群,称为整数加群
- 单位元是
。 - 每个整数
的逆元是 。
模 m 剩余类加群 ¶
对整数
乘法群¶
整数集
实矩阵乘法群¶
记实数域上的 n 阶方阵构成的集合为
双函数复合群¶
集合 S 上的所有双函数
- 恒等函数是单位元
- 逆函数给出逆元
模 m 单位群 U(m)¶
- 1 是单位元
- 对每个整数
,它的逆元是同余方程 的解 - 利用贝祖定理(即
)可证明 U(m) 对 封闭,以及上述同余方程解的存在性,也即逆元的存在性
当 p 是素数,则 U(p) 群也记为
模 m 单位群的阶:
这里
具体群举例¶
群的一些术语¶
交换群¶
群的运算不一定满足交换律,满足交换律的群称为交换群,也称为阿贝尔群
群的阶¶
群 G 的元素个数(准确地说 G 的基数)|G|称为群 G 的阶(order),如果 G 是有穷集,则称为有穷群(有限群),否则称为无穷群(无限群)
加群¶
当群称为加群时通常将它:
- 单位元记为 0
- 元素 a 的逆元记为-a
- 运算称为加法
- 运算的结果称为和
- 运算用加号 + 表示
Warning
通常只有当群是交换群的时候,才使用加号'+'表示这个群的运算
乘群¶
将不是加群的群称为乘群,并将:
- 乘群的单位元通常用 1 或 e 表示
- 元素 a 的逆元用
表示 - 运算称为乘法
- 运算结果称为积
- 运算用
或 或 * 表示,但通常省略不写!
群的一些基本性质¶
群有单位元,因此群不可能是空集
群要求每个元素都有逆元,而运算的零元不可能有逆,因此群没有零元(除平凡群
逆运算基本性质¶
设
证明
根据逆元的定义有
类似地:
因此
群满足消去律¶
群的二元运算满足消去律:
设
证明
若
而群运算满足结合律,因此
而
同理可证
群的充要条件 1¶
给定非空集
的二元运算满足结合律 的二元运算有左单位元:即存在 使得对任意的 有 ; 的每个元素相对左单位元有左逆元:即 ,存在 使得 ;
Abstract
“左”换成“右”也一样
证明:
所以 e 也是右单位元;
所以 每个元素的左逆元也是右逆元。
群的充要条件 2¶
给定非空集
对任意的
问题 5¶
给定非空集
- 该运算有左单位元
,即 有 ; - 对关于该左单位元,每个元素有右逆,即任意
,存在 使得 ;
请问
群的充要条件 3¶
给定非空有限集
证明
群的幂运算¶
定义¶
设
加群的幂运算¶
对于加群,元素的幂运算实际上是倍数运算。
- 例如对于整数加群
,整数 的 次幂实际上是 。这时有: ; ; ; ;
基本性质¶
设
证明
- 先对于
,对 实施数学归纳法; - 再对于
,利用 。
常用性质¶
设
群元素的阶¶
定义¶
群
任意幂的阶¶
设
- 对任意整数
, 当且仅当 ; - 特别的,
时, ; - 对任意整数
: ;
阶内运算可轮换¶
设
; ; ;
(2) 因为
(3) 因为:
因此由 (1) 可知:
Abstract
虽然
子群¶
定义¶
设
若
显然
Abstract
从代数系统角度说,子群就是子代数,下面定理说明子群对群的三个运算都封闭!
子群判定定理 1¶
给定
对 的 (二元) 运算封闭 对零元运算封闭,即 的单位元应属于 ; 对一元运算封闭,即 ;
子群判定定理 2¶
群 G 的非空子集 H 是 G 的子群当且仅当:
; ;
Abstract
实际上是构造
子群判定定理 3¶
群 G 的非空子集 H 是 G 的子群当且仅当:
;- 或
;
群的中心¶
定义群 G 的中心 :
即 C 是 G 中那些与 G 的任何元素都可交换的元素构成的集合.
证明:C 是 G 的子群 (
- 首先 C 是否是非空集?哪个元素一定属于 C?
- 其次,如何运用子群的判定定理证明 C 是 G 的子群?
- 例如利用子群判定定理二,如何证明对任意 a, b\in C,都有 ab-1\in C ?
- 或者利用子群判定定理一,证明对任意 a\in C 有 a-1\in C,以及对任意 a,b\in C 有 ab\in C ?
首先,由群的性质:
对
交并与子群的关系¶
设
- $ H\cap K≤G$(交保持子群,可推广)
- $ H∪K≤G$ 当且仅当
或 (并保持子群的充要条件)
生成子群¶
简单地说,群
两个子群的交总是子群这个命题可推广到任意多个子群的交也总是子群,从而对于群
- 如果
为有限集 ,将 直接记为 ; - 对于群
,若存在 ,使得 ,即 是由元素 生成的群,这时称 G 为循环群。
Abstract
空集生成的子群是什么?
生成子群元素的表示¶
设
即
Abstract
当
循环群¶
设
则称
- 当
是无限集时称为无限循环群 - 当
有 个元素时,称为 n 阶循环群
性质(不考证明)¶
设
;- 若
是有限群,则 ; - 若
是无限循环群,则 ; ;- 若
是 阶循环群,则 ; ;
循环群举例¶
整数加群
显然
对任意
模
当
当
可能是循环群(例如 )- 也可能不是循环群(例如
)
生成元的数量与结构¶
子群保持循环群¶
循环群的任意子群都是循环群
问题¶
如果一个群的所有非平凡子群都是循环群,那么这个群一定是循环群吗?
不一定!
生成元任意幂的生成子群¶
循环群的子群
¶
例题:
、 、 、 、
、 、 、 、