子群的陪集
群子集的乘积运算¶
定义¶
设 \(A\) 和 \(B\) 是群 \(G\) 的两个非空子集，称集合：
为群的子集 \(A\) 与 \(B\) 的乘积(product)
如果 \(g\in G\) 为群 \(G\) 的一个元素，\(A=\{g\}\) ，则：
- \(AB\) 简记为 \(gB = \{gb|b\in B\}\)；
- \(BA\) 简记为 \(Bg = \{bg|b\in B\}\)；
Warning
注意，即使有 \(AB=BA\)，也不意味着 \(\forall a\in A, b\in B,\ \ \ ab =ba\)，正确的结论应该是：\(\forall a\in A, b\in B,\ \ \ \exists a'\in A, b'\in B,\ \ \ ab = b'a'\)
交换群的交换律¶
当 \(G\) 是交换群时，对 \(G\) 的任意子集 \(A,B\) ，满足交换律，有 \(AB=BA\) ；但对于非交换群，一般没有 \(AB=BA\) ，也就是没有交换律成立。
满足结合律¶
群的子集运算满足结合律：\(A(BC) = (AB)C\) ；
对单元素满足消去律¶
若 \(gA=gB\) 或 \(Ag=Bg\)，则 \(A=B\)。
Warning
但对普遍的 \(AC=BC\not\Rightarrow A=B\)
证明（不妨考虑 \(gA=gB\) ）
\(\forall a\in A\)，有 \(ga\in gA\) ；
因为 \(gA=gB\) ，所以 \(ga\in gB\) ，所以：
由群满足消去律可得：\(b=a\) ；
所以 \(a=b\in B\) ，所以有 \(A\subseteq B\) ；同理可证 \(B\subseteq A\)，从而可得 \(A=B\)。
幂运算¶
若 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，则 \(HH=H\)。
乘积的子群充要条件¶
如果 \(A,B\) 是群 \(G\) 的两个子群，则 \(AB\) 也是群 \(G\) 的子群当且仅当 \(AB=BA\)。
必要性: \(AB\leq G\Rightarrow AB=BA\)：
对于 \(\forall a,b,\ \ ab\in AB\)，只需证 \(ab\in BA\)；
由于 \(AB\leq G\) ，所以 \(\exists a'b'\in AB,\ \ \ (ab)^{-1}=a'b'\)
从而可得 \(AB\subseteq BA\) ；同理可证 \(BA\subseteq AB\)，从而可得 \(AB=BA\)。
充分性: \(AB=BA\Rightarrow AB\leq G\)：
对于 \(\forall a_1,b_1,a_2,b_2,\ \ \ a_1b_1,a_2b_2\in AB\)，有：\(a_1b_1(a_2b_2)^{-1}\in AB\)；
从而由子群判定定理二可知 \(AB\) 是 \(G\) 的子群
乘积的子集关系¶
设 \(A,B,C\) 是群 \(G\) 的非空子集（不一定是群），若 \(B⊆C\) ，则有 \(AB⊆AC\) 和 \(BA⊆BC\)。
证明
对任意 \(x\in AB\) ，则存在 \(a\in A,b\in B\)，使得 \(x=ab\) 。由 \(b\in B\) ，且 \(B⊆C\)，因此 \(b\in C\)，因此 \(x=ab\in AC\) ，因此 \(AB⊆BC\) 。
对任意 \(x\in BA\) ，则存在 \(a\in A,b\in B\) ，使得 \(x=ba\) 。由 \(b\in B\) ，且 \(B⊆C\) ，因此 \(b\in C\) ，因此 \(x=ab\in AC\) ，因此 \(BA⊆CA\) 。
子群的陪集及其性质¶
陪集定义¶
\(G\) 是群，\(H\) 是 \(G\) 的子群
对任意 \(a\in G\)，群 \(G\) 的子集 \(aH=\{ah|h\in H\}\) 与 \(Ha=\{ha|h\in H\}\) ，分别称为 \(H\) 在 \(G\) 中的左陪集(left coset)和右陪集(right coset)
子群 \(H\) 的所有右陪集构成的集合族 \(G\backslash H\) 是 \(G\) 的一个划分
子群 \(H\) 的所有左陪集构成的集合族 \(G/H\) 也是 \(G\) 的一个划分
Warning
注意陪集不一定是群了
陪集举例¶
对于群 \((U(5),⊗_5)\)，子群 \(H=\{1,4\}\)：
| \(⊗_5\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 4 | 3 | 2 | 1 |
\(H\) 有两个不同的陪集 \(\{1, 4\}\) 和 \(\{2,3\}\)。
对于下面的置换群 \((G,\circ)\) ，子群 \(H=\{f_1, f_2\}\)：
| \(\circ\) | \(f_1\) | \(f_2\) | \(f_3\) | \(f_4\) | \(f_5\) | \(f_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f_1\) | \(f_1\) | \(f_2\) | \(f_3\) | \(f_4\) | \(f_5\) | \(f_6\) |
| \(f_2\) | \(f_2\) | \(f_1\) | \(f_6\) | \(f_5\) | \(f_4\) | \(f_3\) |
| \(f_3\) | \(f_3\) | \(f_5\) | \(f_1\) | \(f_6\) | \(f_2\) | \(f_4\) |
| \(f_4\) | \(f_4\) | \(f_6\) | \(f_5\) | \(f_1\) | \(f_3\) | \(f_2\) |
| \(f_5\) | \(f_5\) | \(f_3\) | \(f_4\) | \(f_2\) | \(f_6\) | \(f_1\) |
| \(f_6\) | \(f_6\) | \(f_4\) | \(f_2\) | \(f_3\) | \(f_1\) | \(f_5\) |
\(H\) 有三个不同的陪集，且左右陪集不相等，例如 \(f_3H≠Hf_3\)。
不同元素陪集相同充要条件¶
\(\forall a,b\in G\)，
- \(Ha=Hb\) 当且仅当 \(a\in Hb\) 当且仅当 \(ab^{-1}\in H\)；
- \(aH=bH\) 当且仅当 \(a\in bH\) 当且仅当 \(b^{-1}a\in H\)；
陪集不变的充要条件¶
设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，对任意的 \(a\in G\)：
- \(Ha＝H\) 的充分必要条件是 \(a\in H\)；
引理
因 \(e\in H\) ，所以 \(a＝ea\in Ha\) 。
证明
必要性：若 \(Ha＝H\) ，则因为 \(a\in Ha\) ，从而 \(a\in H\) 。
充分性：反之若 \(a\in H\) ，则对任意 \(ha\in Ha\) ，由 \(H\) 对群运算封闭，也有 \(ha\in H\) ，从而有 \(Ha\subseteq H\)；
而这时对任意 \(h\in H\) ，由 \(a\in H\) 有 \(a^{-1}\in H\) ，从而 \(ha^{-1}\in H\) ，从而有 \(h＝ha^{-1}a\in Ha\) ，即有 \(H\subseteq Ha\) 。
于是又 \(Ha\subseteq H,H\subseteq Ha\) 得到 \(Ha=H\) 。
陪集的子群充要条件¶
设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，对任意的 \(a\in G\)：
- 右陪集 \(Ha\) 是 \(G\) 的子群当且仅当 \(Ha=H\) 当且仅当 \(a\in H\)；
- 左陪集 \(aH\) 是 \(G\) 的子群当且仅当 \(aH=H\) 当且仅当 \(a\in H\)；
证明以右陪集为例：
必要性：若 \(Ha\leq G\) ，所以 \(e\in Ha\) ，从而存在 \(h\in H\) 使得 \(e＝ha\) ，从而 \(a＝h^{-1}e=h^{-1}\in H\) ；
充分性：若 \(a\in H\) ，则 \(Ha＝H\) 是子群。
子群陪集运算性质¶
设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，则 \(\forall a,b\in G\) 有：
循环论证：
（1）\(a\in Hb\Longrightarrow ab^{-1}\in H\)：
若 \(a\in Hb\) ，即存在 \(h\in H\) 使得 \(a=hb\) 。从而 \(ab^{-1}＝h\in H\) 。
（2）\(ab^{-1}\in H\Longrightarrow Ha=Hb\)：
对于任意的 \(ha\in Ha\) ，这里 \(h\in H\) ，因此 \(hab^{-1}\in H\)，从而：
这表明 \(Ha\subseteq Hb\) 。类似地，对任意的 \(hb\in Ha\) ，这里 \(h\in H\) 。由于 \(ab^{-1}\in H\) ，则也有：
因此 \(ha=hba^{-1}a\in Ha\) ，这表明 \(Hb\subseteq Ha\) 。综合起来就有 \(Ha=Bb\) 。
（3）\(Ha=Hb\Longrightarrow a\in Hb\)：
若 \(Ha=Hb\) ，则由 \(a\in Ha\) （\(H\) 是子群）可得 \(a\in Hb\) 。
子群陪集构成等价关系¶
设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，在 \(G\) 上定义二元关系 \(R\in G\times G\)：
则 \(R\) 是 \(G\) 上的等价关系，且 \([a]_R=Ha\) 。
证明
上面已经证明了 \(ab^{-1}\in H\Longleftrightarrow Ha=Hb\)，因此 \(a\text{R}b\Longleftrightarrow Ha= Hb\) 。
从而 \(R\) 确实是自反、对称和传递的，即 \(R\) 是等价关系。
对任意 \(b\in G\) ，我们有：
这就表明 \(Ha=[a]_R\) 。
子群陪集构成划分¶
设 \(H≤G\)，则：
- （i）\(\forall a,b\in G\) ,
- \(Ha=Hb\) ；
- 或 \(Ha\cap Hb=\varnothing\)；
- （ii）\(\mathbb U\{Ha|a\in G\}=G\)。
证明——由等价类的性质立即可得。
正规子群¶
若对任意元素 \(a\in G\) 都有 \(aH=Ha\)，即左右陪集相等，则称 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，
左右陪集关系¶
一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集
符号化描述：
\(H\leq G\)，\(a\in G\)，
拉格朗日定理¶
引理¶
\(H\) 是 \(G\) 的子群，对任意 \(a\in G\) ，有 \(|H|=|aH|=|Ha|\)，即这三个集合等势
Info
集合等势：若两个集合前存在双函数，即称它们等势。对于有限集，就是这两个集合有相同元素个数
证明
定义 \(\varphi:H\to Ha\) 为：
由群的消去律我们有：\(\forall h_1,h_2\in H\)
从而 \(\varphi\) 是双函数，即 \(|Ha|=|H|\)。
类似定义 \(\varphi':H\to a\) 为
不难证明 \(|aH|=|H|\)。
指标¶
设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群。称子群 \(H\) 在群 \(G\) 中的左陪集或右陪集的个数（有限或无限）为 \(H\) 在 \(G\) 中的指标(index)，记为 \([G:H]\) 。
也称 \([G:H]\)：\(G\) 关于 \(H\) 的陪集个数。
拉格朗日定理¶
\(H\) 是有限群 \(G\) 的子群，则：
证明
设 \([G:H]=r\) ，则子群 \(H\) 有 \(r\) 个不同的右陪集，设为 \(H_{a_1},H_{a_2},\cdots,H_{a_r}\) 。由于 \(G=U\{Ha|a\in G\}\) ，且对任意的 \(a,b\in G\) ，\(Ha=Hb\) 或者 \(Ha\cap Hb=\varnothing\) ，因此：
而对任意的 \(a\in G\) ，\(|Ha|=|H|\) ，因此 \(|G|=r|H|=|H|\cdot[G:E]\) 。
推论 1(元素阶与群阶的关系)¶
设 \(G\) 是 \(n\) 阶有限群，单位元是 \(e\) ，则对 \(G\) 的任意元素 \(a\) ，\(a\) 的阶 \(|a|\) 是 \(n\) 的因子，且 \(a^{n}=e\) 。
证明
对任意的 \(a\in G\) ，\(<a>\) 是 \(G\) 的子群，因此由拉格朗日定理 \(|<a>|\) 是 \(n\) 的因子;
但另一方面，若 \(|a|=r\) ，则因 \(<a>\) 是 \(a\) 生成的子群，于是
即 \(|<a>|=|a|=r\) ，从而 \(|a|\) 是群 G 的阶 n 的因子，进而由定理 1.6?有 \(a^{n}=e\) ，因为对任意的 \(m\in \mathbb{Z}\) , \(a^{m}=e\) 当且仅当 \(r|m\) 。
Abstract
元素的阶是群的阶的因子；
但并不是群的阶的每个因子，群都存在元素的阶恰好等于这个因子！
推论 2(费马小定理)¶
设 \(p\) 是素数，\(a\) 是与 \(p\) 互素的整数，则有：
证明
因为在群 \(U(p)\) ，即群 \(\mathbb{Z}_p^*\) 中，由于 \(a\) 与 \(p\) 互素，\(a\)（准确地说，\(a\) 整除 \(p\) 的余数）属于 \(\mathbb{Z}_p^*\) ，
而 \(\mathbb{Z}_p^*\) 的阶是 \(p-1\) ，因此 \(a^{p-1}\) 等于单位元 1 ，对于 \(U(p)\) 的模 \(p\) 乘运算而言，就是 \(a^{p-1}\equiv 1(\bmod p)\) 。
推论 3¶
\(H,K\) 都是 \(G\) 的有限子群，证明：
- （1） 记 \(S=\{hK|h\in H\}\)，则 \(S\) 是 \(H\) 的划分，从而 \(|HK|=|S|\cdot|K|\)
- （2）\(|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}\)；
（1）证明
即证 \(h_1K\) ，\(h_2K\) 要么相等，要么不相交
（2）证明
为方便起见，记 \(M=H\cap K\) ，由于 \(H\) 和 \(K\) 都是 \(G\) 的子群,因此 \(M\) 也是 \(G\) 的子群且也是 \(H\)的子群。
定义函数 \(\varphi:H/M\to S\)，对任意 \(h\in H\) ，\(\varphi(hM)=hK\)
下面证明 \(\varphi\) 的定义是合适的，且是双函数，从而结合拉格朗日定理有 \(|S|=|H/M|=|H|/|M|\) ，从而得到 \(|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|M|}\) 。
(a) 证明 \(\varphi\) 的定义是合适的：
对任意 \(h_1,h_2\in H\) ，若 \(h_1M=h_2M\) ，则 \(h_1^{-1}h_2\in M\subseteq K\) ，从而 \(\varphi(h_1M)=\varphi(h_2M)\)，这说明 \(\varphi(hM)\) 的值不会因为选取的代表 \(h\) 不同面不同，即 \(\varphi\) 的定义是合适的。
(b) 证明 \(\varphi\) 是单函数：
对任意 \(h_1,h_2\in H\)，若 \(\varphi(h_1M)=\varphi(h_2M)\)，即 \(h_1K=h_2K\) ，从而 \(h_1^{-1}h_2\in K\) ，
但 \(h_1,h_2\in H\) ，因此也有 \(h_1^{-1}h_2\in H\) ，
从而 \(h_1^{-1}h_2\in H\cap K=M\) ，
从而 \(h_1M=h_2M\) ，这就表明 \(\varphi\) 是单函数。
(c) 显然 \(\varphi\) 是满函数，对任意 \(hK\in S\) ，都有 \(\varphi(hM)=hk\)。
因此 \(|S|=|H/M|\) ，由拉格朗日定理有 \(|S|=|H/M|=|H|/|M|\) ，最后得到:
举例¶
不容易找到两个子群的交不等于 \(\{e\}\) 的例子，利用计算机程序可找到如下的例子：\(U(33)=\{1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26,28,29,31,32\}\)。
- 子群 \(\{1,2,4,8,16,17,25,29,31,32\}\) 是循环子群，生成元为：\(2,8,17,29\) ；
- 子群 \(\{1,4,5,14,16,20,23,25,26,31\}\) 是循环子群，生成元为：\(5,14,20,26\) ；
上述两个子群交集为 \(\{1,4,16,25,31\}\) ；
西罗定理¶
可了解，不考
\(G\) 是 \(n\) 阶循环群, \(a\) 是生成元.对于 \(n\) 的每个正因子 \(k\) , 有且仅有一个 \(k\) 阶循环子群.并且由 \(a^{\frac{n}{k}}\) 生成.