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子群的陪集

群子集的乘积运算

定义

AB 是群 G 的两个非空子集,称集合:

AB={ab|aA,bB}

为群的子集 AB乘积(product)

如果 gG 为群 G 的一个元素,A={g} ,则:

  • AB 简记为 gB={gb|bB}
  • BA 简记为 Bg={bg|bB}

Warning

注意,即使有 AB=BA,也不意味着 aA,bB,   ab=ba,正确的结论应该是:aA,bB,   aA,bB,   ab=ba

交换群的交换律

G交换群时,对 G 的任意子集 A,B ,满足交换律,有 AB=BA ;但对于非交换群,一般没有 AB=BA ,也就是没有交换律成立。

满足结合律

群的子集运算满足结合律:A(BC)=(AB)C

对单元素满足消去律

gA=gBAg=Bg,则 A=B

Warning

但对普遍的 AC=BCA=B


证明(不妨考虑 gA=gB

aA,有 gagA

因为 gA=gB ,所以 gagB ,所以:

bB,   ga=gb

由群满足消去律可得:b=a

所以 a=bB ,所以有 AB ;同理可证 BA,从而可得 A=B

幂运算

H 是群 G 的子群,则 HH=H

乘积的子群充要条件

如果 A,B 是群 G 的两个子群,则 AB 也是群 G 的子群当且仅当 AB=BA


必要性: ABGAB=BA

对于 a,b,  abAB,只需证 abBA

由于 ABG ,所以 abAB,   (ab)1=ab

ab=((ab)1)1=(ab)1=b1a1BA

从而可得 ABBA ;同理可证 BAAB,从而可得 AB=BA


充分性: AB=BAABG

对于 a1,b1,a2,b2,   a1b1,a2b2AB,有:a1b1(a2b2)1AB

a1b1(a2b2)1=a1b1b21a21=a1(b1b21)a21ABA=A(BA)=A(AB)=(AA)B=AB

从而由子群判定定理二可知 ABG 的子群

乘积的子集关系

A,B,C 是群 G 的非空子集(不一定是群),若 BC ,则有 ABACBABC


证明

对任意 xAB ,则存在 aA,bB,使得 x=ab 。由 bB ,且 BC,因此 bC,因此 x=abAC ,因此 ABBC

对任意 xBA ,则存在 aA,bB ,使得 x=ba 。由 bB ,且 BC ,因此 bC ,因此 x=abAC ,因此 BACA

子群的陪集及其性质

陪集定义

G 是群,HG 的子群

对任意 aG,群 G子集 aH={ah|hH}Ha={ha|hH} ,分别称为 HG 中的左陪集(left coset)和右陪集(right coset)

子群 H 的所有右陪集构成的集合族 GHG 的一个划分

子群 H 的所有左陪集构成的集合族 G/H 也是 G 的一个划分

Warning

注意陪集不一定是群了

陪集举例

对于群 (U(5),5),子群 H={1,4}

5 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1H={151,154}={1,4}2H={251,254}=2,33H={351,354}={3,2}4H={451,454}={4,1}

H 有两个不同的陪集 {1,4}{2,3}


对于下面的置换群 (G,) ,子群 H={f1,f2}

f1 f2 f3 f4 f5 f6
f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6
f2 f2 f1 f6 f5 f4 f3
f3 f3 f5 f1 f6 f2 f4
f4 f4 f6 f5 f1 f3 f2
f5 f5 f3 f4 f2 f6 f1
f6 f6 f4 f2 f3 f1 f5
f1H={f1f1,f1f2}={f1,f2}f2H={f2f1,f2f2}={f2,f1}f3H={f3f1,f3f2}={f3,f5}f4H={f4f1,f4f2}={f4,f6}f5H={f5f1,f5f2}={f5,f3}f6H={f6f1,f6f2}={f6,f4}Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f6}Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f5}Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f4}Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f3}

H 有三个不同的陪集,且左右陪集不相等,例如 f3HHf3

不同元素陪集相同充要条件

a,bG

  • Ha=Hb 当且仅当 aHb 当且仅当 ab1H
  • aH=bH 当且仅当 abH 当且仅当 b1aH

陪集不变的充要条件

H 是群 G 的子群,对任意的 aG

  • HaH 的充分必要条件是 aH

引理

eH ,所以 aeaHa


证明

必要性:若 HaH ,则因为 aHa ,从而 aH

充分性:反之若 aH ,则对任意 haHa ,由 H 对群运算封闭,也有 haH ,从而有 HaH

而这时对任意 hH ,由 aHa1H ,从而 ha1H ,从而有 hha1aHa ,即有 HHa

于是又 HaH,HHa 得到 Ha=H

陪集的子群充要条件

H 是群 G 的子群,对任意的 aG

  • 右陪集 HaG 的子群当且仅当 Ha=H 当且仅当 aH
  • 左陪集 aHG 的子群当且仅当 aH=H 当且仅当 aH

证明以右陪集为例:

必要性:若 HaG ,所以 eHa ,从而存在 hH 使得 eha ,从而 ah1e=h1H

充分性:若 aH ,则 HaH 是子群。

子群陪集运算性质

H 是群 G 的子群,则 a,bG 有:

aHbab1HHa=Hb

循环论证:


(1)aHbab1H

aHb ,即存在 hH 使得 a=hb 。从而 ab1hH


(2)ab1HHa=Hb

对于任意的 haHa ,这里 hH ,因此 hab1H,从而:

ha=hab1bHb

这表明 HaHb 。类似地,对任意的 hbHa ,这里 hH 。由于 ab1H ,则也有:

ba1=(b1)1a1=(ab1)1H

因此 ha=hba1aHa ,这表明 HbHa 。综合起来就有 Ha=Bb


(3)Ha=HbaHb

Ha=Hb ,则由 aHaH 是子群)可得 aHb

子群陪集构成等价关系

H 是群 G 的子群,在 G 上定义二元关系 RG×G

a,bG,   aRbab1H

RG 上的等价关系,且 [a]R=Ha


证明

上面已经证明了 ab1HHa=Hb,因此 aRbHa=Hb

从而 R 确实是自反、对称和传递的,即 R 是等价关系。

对任意 bG ,我们有:

bHaHb=HabRab[a]R

这就表明 Ha=[a]R

子群陪集构成划分

HG,则:

  • (i)a,bG ,
  • Ha=Hb
  • HaHb=
  • (ii)U{Ha|aG}=G

证明——由等价类的性质立即可得。

正规子群

若对任意元素 aG 都有 aH=Ha,即左右陪集相等,则称 HG 的正规子群,

左右陪集关系

一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集

符号化描述:

HGaG

S={x1|xaH}

拉格朗日定理

引理

HG 的子群,对任意 aG ,有 |H|=|aH|=|Ha|,即这三个集合等势

Info

集合等势:若两个集合前存在双函数,即称它们等势。对于有限集,就是这两个集合有相同元素个数


证明

定义 φ:HHa 为:

hH,   φ(h)=haHa

由群的消去律我们有:h1,h2H

φ(h1)=φ(h2)h1a=h2ah1=h2

从而 φ 是双函数,即 |Ha|=|H|

类似定义 φ:Ha

hH,   φ(h)=ahaH

不难证明 |aH|=|H|

指标

H 是群 G 的子群。称子群 H 在群 G 中的左陪集或右陪集的个数(有限或无限)为 HG 中的指标(index),记为 [G:H]

也称 [G:H]G 关于 H 的陪集个数。

拉格朗日定理

H 是有限群 G 的子群,则:

|G|=|H|[G:H]

证明

[G:H]=r ,则子群 H​ 有 r 个不同的右陪集,设为 Ha1,Ha2,,Har 。由于 G=U{Ha|aG} ,且对任意的 a,bGHa=Hb 或者 HaHb= ,因此:

G=Ha1Ha2Har|G|=|Ha1|+|Ha2|++|Har|

而对任意的 aG|Ha|=|H| ,因此 |G|=r|H|=|H|[G:E]

推论 1(元素阶与群阶的关系)

Gn 阶有限群,单位元是 e ,则对 G 的任意元素 aa 的阶 |a|n 的因子,且 an=e


证明

对任意的 aG<a>G 的子群,因此由拉格朗日定理 |<a>|n 的因子;

但另一方面,若 |a|=r ,则因 <a>a 生成的子群,于是

<a>={a0=e,a1,,ar1}

|<a>|=|a|=r ,从而 |a| 是群 G 的阶 n 的因子,进而由定理 1.6?an=e ,因为对任意的 mZ , am=e 当且仅当 r|m

Abstract

元素的阶是群的阶的因子;

但并不是群的阶的每个因子,群都存在元素的阶恰好等于这个因子!

推论 2(费马小定理)

p 是素数,a 是与 p 互素的整数,则有:

ap11(modp)

证明

因为在群 U(p) ,即群 Zp 中,由于 ap 互素,a(准确地说,a 整除 p 的余数)属于 Zp

Zp 的阶是 p1 ,因此 ap1 等于单位元 1 ,对于 U(p) 的模 p 乘运算而言,就是 ap11(modp)

推论 3

H,K 都是 G 的有限子群,证明:

  • (1) 记 S={hK|hH},则 SH划分,从而 |HK|=|S||K|
  • (2)|HK|=|H||K||HK|

(1)证明

即证 h1Kh2K 要么相等,要么不相交

h1K=h2Kh11h2Kh1Kh2K=

(2)证明

为方便起见,记 M=HK ,由于 HK 都是 G 的子群,因此 M 也是 G 的子群且也是 H的子群。

定义函数 φ:H/MS,对任意 hHφ(hM)=hK

下面证明 φ 的定义是合适的,且是双函数,从而结合拉格朗日定理有 |S|=|H/M|=|H|/|M| ,从而得到 |HK|=|H||K||M|

(a) 证明 φ 的定义是合适的:

对任意 h1,h2H ,若 h1M=h2M ,则 h11h2MK ,从而 φ(h1M)=φ(h2M),这说明 φ(hM) 的值不会因为选取的代表 h 不同面不同,即 φ 的定义是合适的。

(b) 证明 φ 是单函数:

对任意 h1,h2H,若 φ(h1M)=φ(h2M),即 h1K=h2K ,从而 h11h2K

h1,h2H ,因此也有 h11h2H

从而 h11h2HK=M

从而 h1M=h2M ,这就表明 φ 是单函数。

(c) 显然 φ 是满函数,对任意 hKS ,都有 φ(hM)=hk

因此 |S|=|H/M| ,由拉格朗日定理有 |S|=|H/M|=|H|/|M| ,最后得到:

|HK|=|H||M||K|=|H||K||HK|

举例

不容易找到两个子群的交不等于 {e} 的例子,利用计算机程序可找到如下的例子:U(33)={1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26,28,29,31,32}

  • 子群 {1,2,4,8,16,17,25,29,31,32} 是循环子群,生成元为:2,8,17,29
  • 子群 {1,4,5,14,16,20,23,25,26,31} 是循环子群,生成元为:5,14,20,26

上述两个子群交集为 {1,4,16,25,31}

西罗定理

可了解,不考

Gn 阶循环群, a 是生成元.对于 n 的每个正因子 k , 有且仅有一个 k 阶循环子群.并且由 ank 生成.