子群的陪集
群子集的乘积运算¶
定义¶
设
为群的子集
如果
简记为 ; 简记为 ;
Warning
注意,即使有
交换群的交换律¶
当
满足结合律¶
群的子集运算满足结合律:
对单元素满足消去律¶
若
Warning
但对普遍的
证明(不妨考虑
因为
由群满足消去律可得:
所以
幂运算¶
若
乘积的子群充要条件¶
如果
必要性:
对于
由于
从而可得
充分性:
对于
从而由子群判定定理二可知
乘积的子集关系¶
设
证明
对任意
对任意
子群的陪集及其性质¶
陪集定义¶
对任意
子群
子群
Warning
注意陪集不一定是群了
陪集举例¶
对于群
1 | 2 | 3 | 4 | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
3 | 3 | 1 | 4 | 2 |
4 | 4 | 3 | 2 | 1 |
对于下面的置换群
不同元素陪集相同充要条件¶
当且仅当 当且仅当 ; 当且仅当 当且仅当 ;
陪集不变的充要条件¶
设
的充分必要条件是 ;
引理
因
证明
必要性:若
充分性:反之若
而这时对任意
于是又
陪集的子群充要条件¶
设
- 右陪集
是 的子群当且仅当 当且仅当 ; - 左陪集
是 的子群当且仅当 当且仅当 ;
证明以右陪集为例:
必要性:若
充分性:若
子群陪集运算性质¶
设
循环论证:
(1)
若
(2)
对于任意的
这表明
因此
(3)
若
子群陪集构成等价关系¶
设
则
证明
上面已经证明了
从而
对任意
这就表明
子群陪集构成划分¶
设
- (i)
, ;- 或
; - (ii)
。
证明——由等价类的性质立即可得。
正规子群¶
若对任意元素
左右陪集关系¶
一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集
符号化描述:
拉格朗日定理¶
引理¶
Info
集合等势:若两个集合前存在双函数,即称它们等势。对于有限集,就是这两个集合有相同元素个数
证明
定义
由群的消去律我们有:
从而
类似定义
不难证明
指标¶
设
也称
拉格朗日定理¶
证明
设
而对任意的
推论 1(元素阶与群阶的关系)¶
设
证明
对任意的
但另一方面,若
即
Abstract
元素的阶是群的阶的因子;
但并不是群的阶的每个因子,群都存在元素的阶恰好等于这个因子!
推论 2(费马小定理)¶
设
证明
因为在群
而
推论 3¶
- (1) 记
,则 是 的划分,从而 - (2)
;
(1)证明
即证
(2)证明
为方便起见,记
定义函数
下面证明
(a) 证明
对任意
(b) 证明
对任意
但
从而
从而
(c) 显然
因此
举例¶
不容易找到两个子群的交不等于
- 子群
是循环子群,生成元为: ; - 子群
是循环子群,生成元为: ;
上述两个子群交集为
西罗定理¶
可了解,不考