z变换

公式表

基本变换对

常用(双边) z 变换对：

二阶系统

性质表

双边 z 变换的性质：

单边 z 变换的性质：

双边 z 变换

定义

\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n} \]

称为 \(x[n]\) 的 z 变换，后面简记为zT，其中 \(z=re^{j\omega}\) 为复数。

若 \(r=1\) ，\(z=e^{j\omega}\) 位于单位圆上，则为 DTFT（离散时间傅里叶变换），也就是说 DTFT 是双边 z 变换在 \(r=1\) 或者说是在单位圆上的特例，即 \(X(z)|_{r=1}=X(e^{j\omega})\)。

zT 与 DTFT 的关系

\[ \begin{aligned} X(z)=X(re^{j\omega})&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\omega n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\big[x[n]r^{-n}\big]e^{-j\omega n}\\ &=\mathscr{F}\{x[n]r^{-n}\} \end{aligned} \]

所以 \(x[n]\)的 zT 就是 \(x[n]r^{-n}\) 的 DTFT 。

零极点图

若 \(X(z)\) 是有理函数：

\[ X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=M\frac{\prod_{i}(s-\beta_i)}{\prod_{i}(s-\alpha_i)} \]

• 分子多项式的根称为零点，画为圆圈 ⭕️
• 分母多项式的根称为极点，画为交叉 ❌

将 \(X(z)\) 的全部零点和极点表示在 \(s\) 平面上，就构成了零极点图。

零极点图上标出收敛域，可以唯一确定一个 \(X(z)\) ，最多与真实的 \(X(z)\) 相差一个常数因子 \(𝑀\)。

ROC

不同的信号可能会有完全相同的 z 变换表达式，只是它们的收敛域不同。z 变换的表达式只有连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。

并非 \(z\) 平面上的任何复数都能使 z 变换 \(X(z)\) 收敛，也不是任何信号的 z 变换都存在。

和拉普拉斯变换一样，使 z 变换收敛的复数 \(z\) 的集合，称为 z 变换 (zT) 的收敛域（ROC，Region of Convergence）

若 \(x[n]\) 可以写为若干部分的线性组合，各个部分分别进行 zT 有各自的收敛域，则 \(X(z)\) 的收敛域是各个收敛域的交集。

• ROC 总是 z 平面上以原点为中心的环形区域
• ROC 的边界总是与 \(X(z)\) 的分母的根 (极点) 相对应
• （因为）有理 z 变换在其 ROC 内无任何极点

按照 ROC 在 \(z\) 平面上的分布可以分为：

• 右边序列的 ROC 是某个圆的外部，但可能不包括 \(z=\infty\)；
• \(x[n]\) 左边界 \(\lt0\) 时，\(|z|=\infty\) 不在 ROC 内
• 当且仅当 \(z=\infty\) 在 ROC 内时，\(x[n]\) 在 \(n\lt0\) 时总为 \(0\)，\(x[n]\) 为因果序列。
• 左边序列的 ROC 是某个圆的内部，但可能不包括 \(z=0\)；
• \(x[n]\) 右边界 \(\gt0\) 时，\(|z|=0\) 不在 ROC 内
• 当且仅当 \(z=0\) 在 ROC 内时，\(x[n]\) 在 \(n\gt0\) 时总为 \(0\)，\(x[n]\) 为反因果序列。
• 双边序列的 ROC 如果存在，一定是一个环形区域
• 有限长序列的 ROC 是整个 z 平面
• \(x[n]\) 左边界 \(\lt0\) 时，\(|z|=\infty\) 不在 ROC 内
• \(x[n]\) 右边界 \(\gt0\) 时，\(|z|=0\) 不在 ROC 内

有限长序列

设 \(x[n]\) 是有限长序列，定义于 \([N_1,N_2]\) ，则有其 z 变换：

\[ X(z)=\sum_{n=N_1}^{N_2}x[n]z^{-n} \]

此时既然是有限项求和，当 z 不等于零或无穷大时，和式中的每一项都是有限的，那么显然整个 z 平面上都是收敛的。

如果 \(N_1\lt0\)，那么 \(x[n]\) 对 \(n<0\) 一定会有非零值，和式中包括 z 的正幂次项。当 \(|z|\to\infty\) 时，涉及 z 的正幂次的那些项就成为无界的，因此收敛域不包括 \(|z|=\infty\)。

如果 \(N_2\gt0\)，那么 \(x[n]\) 对 \(n>0\) 一定会有非零值，和式中包括 z 的负幂次项。当 \(|z|\to0\) 时，涉及 z 的负幂次的那些项就成为无界的，因此收敛域不包括 \(|z|=0\)。

右边序列

设 \(x[n]\) 是右边序列，定义于 \([N_1,+\infty)\) ，则有其 z 变换：

\[ X(z)=\sum_{n=N_1}^{+\infty}x[n]z^{-n} \]

若 \(|z|=r_0\in\text{ROC}\) ，则有 \(X(z)\) 收敛：

\[ \sum_{n=N_1}^{+\infty}|x[n]z^{-n}|=\sum_{n=N_1}^{+\infty}|x[n]r_0^{-n}|\lt\infty \]

对任意 \(r_1\gt r_0\) 有：

\[ \sum_{n=N_1}^{+\infty}|x[n]r_1^{-n}|=\sum_{n=N_1}^{+\infty}|x[n]r_0^{-n}|\cdot(\frac{r_0}{r_1})^n\leq\sum_{n=N_1}^{+\infty}|x[n]r_0^{-n}|\cdot(\frac{r_0}{r_1})^{N_1}\lt\infty \]

如果 \(N_1\lt0\)，那么 \(x[n]\) 对 \(n<0\) 一定会有非零值，和式中包括 z 的正幂次项。当 \(|z|\to\infty\) 时，涉及 z 的正幂次的那些项就成为无界的，因此收敛域不包括 \(|z|=\infty\)。

于是就可得：

• 若 \(X(z)\) 为有理函数，则 ROC  必位于最外极点之外
• \(N_1\lt0\) 时，\(|z|=\infty\) 不在 ROC 内
• 当且仅当 \(z=\infty\) 在 ROC 内时，\(x[n]\) 为因果序列

左边序列

设 \(x[n]\) 是左边序列，定义于 \((-\infty,N_1]\) ，则有其 z 变换：

\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{N_1}x[n]z^{-n} \]

若 \(|z|=r_0\in\text{ROC}\) ，则有 \(X(z)\) 收敛：

\[ \sum_{n=-\infty}^{N_1}|x[n]z^{-n}|=\sum_{n=-\infty}^{N_1}|x[n]r_0^{-n}|\lt\infty \]

对任意 \(r_1\lt r_0\) 有：

\[ \sum_{n=-\infty}^{N_1}|x[n]r_1^{-n}|=\sum_{n=-\infty}^{N_1}|x[n]r_0^{-n}|\cdot(\frac{r_0}{r_1})^n\leq\sum_{n=-\infty}^{N_1}|x[n]r_0^{-n}|\cdot(\frac{r_0}{r_1})^{N_1}\lt\infty \]

如果 \(N_1\gt0\)，那么 \(x[n]\) 对 \(n>0\) 一定会有非零值，和式中包括 z 的负幂次项。当 \(|z|\to0\) 时，涉及 z 的负幂次的那些项就成为无界的，因此收敛域不包括 \(|z|=0\)。

于是就可得：

• 若 \(X(z)\) 为有理函数，则 ROC  必位于最内极点之内内
• \(N_1\gt0\) 时，\(|z|=0\) 不在 ROC 内
• 当且仅当 \(z=0\) 在 ROC 内时，\(x[n]\) 为反因果序列

双边序列

设 \(x[n]\) 是双边序列，定义于 \((-\infty,+\infty)\) ，则有其 z 变换：

\[ X(z)=\sum_{n=\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n} \]

和有限长序列相反，此时收敛域不包括 \(|z|=\infty\) 也不包括 \(|z|=0\)。此时的收敛域是 z 平面上的环形区域

Abstract

\(z^N=a^N\) 的解为：\(z=ae^{j\frac{2\pi}{N}k}\)。均匀分布在半径为 \(a\) 的圆上

z 反变换

定义

利用 zT 和 DTFT 的关系、DTFT 的反变换可以得到 zT 的反变换。

（zT 和 DTFT 的关系：）

\[ \begin{aligned} X(z)&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\omega n}\\ X(re^{j\omega})&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\big[x[n]r^{-n}\big]e^{-j\omega n}\\ &=\mathscr{F}\{x[n]r^{-n}\} \end{aligned} \]

进而由 DTFT 的反变换有：

\[ \begin{aligned} x[n]r^{-n}&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(re^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega\\ x[n]&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(re^{j\omega})r^ne^{j\omega n}d\omega\\ x[n]&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(z)z^{n}d\omega \end{aligned} \]

对 \(z=re^{j\omega}\) 两侧同时微分得到：\(dz=jre^{j\omega}d\omega=jzd\omega\) ；同时，当 \(\omega\) 从 \(0\to2\pi\) 时，\(z\) 沿着 ROC 内半径为 \(r\) 的圆积分一周 ，所以可得到 z 反变换为：

\[ x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz \]

式中 \(\oint\) 记为在半径为 \(r\)，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕 一周的积分。\(r\) 的值可选为使 \(X(z)\) 收敛的任 何值也就是使 \(|z|=r\) 的积分围线位于收敛域内的任何值。

部分分式展开法

1. 将 \(X(z)\) 展开为部分分式
2. 根据 \(X(z)\) 的 ROC ，确定每一项的 ROC
3. 利用常用信号变换对与拉普拉斯变换性质，对每一项进行反变换

幂级数展开法

由 \(X(z)\) 的定义，将其展开为幂级数，有

\[ \begin{aligned} X(z)=&\cdots+x[-n]z^n+\cdots+x[-2]z^{2}+x[-1]z\\ &+x[0]+\\ &x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+\cdots+x[n]z^{-n}+\cdots \end{aligned} \]

展开式中 \(z^{-n}\) 项的系数即为 \(x[n]\)。

泰勒级数展开法适合用来求解非有理函数形式 \(X(z)\) 的反变换。

当 \(X(z)\) 是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数：（但可能不易获得闭式表达）

• 右边序列的展开式中应包含无限个 \(z\) 的负幂项，所以要按降幂长除。
• 左边序列的展开式中应包含无限个 \(z\) 的正幂项，要按升幂长除。
• 对双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。

zT 的几何求值

其方法与拉普拉斯变换时完全类似

考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映频率特性。

一般情况

对有理函数形式的 \(X(z)\)：

\[ X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=M\frac{\prod_i(s-\beta_i)}{\prod_i(s-\alpha_i)} \]

可得：

\[ \begin{aligned} |X(z)|&=|M|\frac{\prod_i|\vec{s}-\vec{\beta_i}|}{\prod_i|\vec{s}-\vec{\alpha_i}|}\\ \angle X(z)&=\sum_i\angle(\vec{s}-\vec{\beta_i})-\sum_i\angle(\vec{s}-\vec{\alpha_i}) \end{aligned} \]

从所有零点向 \(s\) 点作零点矢量，从所有极点向 \(s\) 点作极点矢量：

• 所有零点矢量的长度之积 (不存在则为 1 ) 除以所有极点矢量的长度之积即为 \(|X(z)|\)；
• 所有零点矢量的幅角之和 (不存在则为 0 ) 减去所有极点矢量的幅角之和即为 \(\ang X(z)\)；

当 \(s\) 取为单位元上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。考查 \(s\) 在单位圆上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化，即可得出 \(X(e^{j\omega})\) 的幅频特性和相频特性

ROC 包括单位圆，则说明 \(x[n]\) 对应的傅里叶变换存在

zT 性质

与 s 变换类似，在讨论 z 变换的许多性质时我们都要考虑其 ROC 的变化。

线性

\[ x_1[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X_1(z),\ \ \text{ROC}:R_1\\ x_2[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X_2(z),\ \ \text{ROC}:R_2 \Rightarrow ax_1[n]+bx_2[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}aX_1(z)+bX_2(z) \]

后者的 ROC 至少是 \(R_1\cap R_2\) ，否则若 \(R_1\cap R_2=\varnothing\) ，则 \(ax_1[n]+bx_2[n]\) 的 LT 不存在。

ROC 也有可能扩大：\(X_1(z)\) 与 \(X_2(z)\) 线性组合时，若发生了零极点相抵消的现象，且当被抵消的极点恰好在 ROC 的边界上时，就会使 ROC 扩大。

时移特性

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z),\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow x[n-n_0]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z)z^{-n_0} \]

后者的 ROC 为 \(R\) ，但是在 \(z=0\) 和 \(z=∞\) 可能会有增删，这是由于 \(x[n]\) 的平移可能改变其在 \(x\) 轴正半轴、负半轴的取值情况，信号时移可能会改变其因果性。

z 域尺度变换

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X[n],\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow x[n]z_0^{n}\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X\big(\frac{z}{z_0}\big),\ \ \text{ROC}:|z_0|R \]

这里 \(|z_0|R\) 的意思是将 \(R\) 的边界缩放为 \(z_0\) 倍，也就是整体的模缩放为 \(z_0\) 倍。实际上 ROC 还会有一个 \(\omega_0\) 的角度偏移（\(z_0=|z_0|e^{j\omega_0}\)），所以零点和极点位置发生缩放和旋转。

特别地，当 \(z_0=e^{j\omega_0}\) 时，有 \(|z_0|R=R\)，只有旋转没有缩放。在公式表中这一项被单独列出。

Abstract

连续时间的时域尺度变换的概念不能直接推广到离散时间中，因为离散时间变量仅仅定义在整数值上。相对应的，z 变换有时域反转、时域扩展这两个性质

时域反转

若信号在时域尺度变换，其 LT 的 ROC 在 \(s\) 平面上作相反的尺度变换。

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z),\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow x[-n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z^{-1}),\ \ \text{ROC}:\frac{1}{R} \]

这里 \(\frac{1}{R}\) 的意思是 \(R\) 收敛域边界倒置，零点、极点也将变为倒数。

时域扩展

定义在原有序列 \(x[n]\) 的各连续值之间插入 \(k-1\) 个零值序列：

\[ x_{(k)}[n]=\begin{cases} x[\frac{n}{k}],&n\text{是}k\text{的整数倍}\\ 0,&n\text{不是}k\text{的整数倍} \end{cases} \]

于是有：

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z),\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow x_{(k)}[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z^{k}),\ \ \text{ROC}:R^{\frac{1}{k}} \]

这里 \(R^{\frac{1}{k}}\) 的意思与前面相似...

共轭对称性

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z),\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow x^*[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X^*(z^*),\ \ \text{ROC}:R \]

Abstract

这里可以结合 \(|X(z)|=|X(z^*)|\) 理解，模相同意味着二者总是零点极点相同......

特别地，当 \(x[n]\) 为实信号时，有：

\[ x^*[n]=x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow} X^*(z^*)=X(z)=X^*(z)=X(z^*) \]

这里 \(X^*(z^*)=X(z)\) 等价于 \(X^*(z)=X(z^*)\)。

因此，如果 \(x[n]\) 是实信号，且 \(X(z)\) 在 \(z_0\) 有极点(或零点)，则 \(X(z)\) 一定在 \(z_0^*\) 也有极点(或零点)。即实信号的 z 变换其零、极点必共轭成对出现。

卷积性质

\[ x_1[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X_1(z),\ \ \text{ROC}:R_1\\ x_2[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X_2(z),\ \ \text{ROC}:R_2 \Rightarrow x_1[n]*x_2[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X_1(z)X_2(z) \]

类似线性性质中，后者的 ROC 包括 \(R_1\cap R_2\) ，否则若 \(R_1\cap R_2=\varnothing\) ，则 \(x_1[n]*x_2[n]\) 的 LT 不存在。

ROC 也有可能扩大：\(X_1(z)\) 与 \(X_2(z)\) 相乘时，若发生了零极点相抵消的现象，且当被抵消的极点恰好在 ROC 的边界上时，就会使 ROC 扩大。

时域差分

\[ y[n]=x[n]-x[n-1]=\big(\delta[n]-\delta[n-1]\big)*x[n] \]

\(y[n]\) 为 \(x[n]\) 的的一次差分。可以认为是离散时间情况下的“微分”。

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z),\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow x[n]-x[n-1]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}(1-z^{-1})X(z) \]

后者的 ROC 至少是 \(R\) 和 \(|z|>0\) 的相交。

z 域微分

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z),\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow nx[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}-z\frac{d}{dz}X(z),\ \ \text{ROC}:R\\ \]

时域累加

\[ w[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]=u[n]*x[n] \]

\(w[n]\) 为 \(x[n]\) 的的累加/求和。可以认为是离散时间情况下的“积分”。

\[ x[n]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}X(z),\ \ \text{ROC}:R \Rightarrow \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\stackrel{zT}{\longleftrightarrow}\frac{1}{1-z^{-1}}X(z) \]

后者的 ROC 至少是 \(R\) 和 \(|z|>1\) 的相交，也就是包括 \(R\) 在单位圆外侧的部分。这是因为：

\[ \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]=x[n]*u[n] \]

初值与终值定理

初值定理

如果 \(x(t)\) 是因果信号，也就是 \(n<0\) 时 \(x[n]=0\)，则有初值定理：

\[ x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z) \]

Abstract

或者非因果信号可以用单边 z 变换表示：

\[ x[0]=\lim_{z\to\infty}\chi(z) \]

---

证明

将 \(X(z)\) 按照定义式展开有：

\[ \begin{aligned} X(z)=x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\cdots+x(n)z^{-n}+\cdots \end{aligned} \]

显然就有 \(x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)\)。

终值定理

如果 \(x[n]\) 是因果信号，\(X(z)\) 除了在 \(z=1\) 可以有单阶极点外，其余极点均在单位圆内

Abstract

上述条件的目的在于保证终值存在。

则有终值定理：

\[ \lim_{n\to\infty}x[n]=\lim_{z\to1}(z-1)X(z) \]

---

证明

\[ \begin{aligned} \lim_{z\to1}(z-1)X(z) &=\lim_{z\to1}\sum_{n=-1}^{\infty}\big(x[n+1]-x[n]\big)z^{-n}\\ &=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=-1}^{m}\big(x[n+1]-x[n]\big)\\ &=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=-1}^{m}\big(x[0]-x[-1]+x[1]-x[0]+\cdots+x[m+1]-x[m]\big)\\ &=\lim_{m\to\infty}x[m+1]\\ &=\lim_{n\to\infty}x[n] \end{aligned} \]

zT 分析 LTI 系统

以卷积特性为基础，可建立 LTI 系统的 z 变换分析方法，即：

\[ Y(z)=X(z)\cdot H(z) \]

设离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应为 \(h[n]\)，则 \(h[n]\) 的 z 变换 \(H(z)\) 称为系统函数或转移函数，它描述了一个离散时间 LTI 系统并体现其系统特性。其中 \(H(z)\) 是 \(h[n]\) 的 z 变换，称为系统函数或转移函数、传递函数。

特征函数

\(x[n]=e^{z_0t}\) 时，响应为：

\[ y[n]=H(z_0)e^{z_0t} \]

因果性

• 系统是因果的当且仅当：如果 \(n<0\) 时 \(h[n]=0\)，则 \(H(z)\) 的 ROC 是最外部极点的外部，并且包括 \(z=\infty\)；
• 系统是反因果的当且仅当：如果 \(n>0\) 时 \(h[n]=0\)，则 \(H(z)\) 的 ROC 是最内部极点的内部，并且包括 \(z=0\)；

对于 \(H(z)\) 表达式已知，判断因果性、反因果性与否可以直接看 \(\lim_{z\to0}H(z)\) 或 \(\lim_{z\to\infty}H(z)\) 是否收敛存在。

稳定性

LTI 系统若稳定，即 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|\lt\infty\)，也即 \(h[n]\) 的 DTFT 存在，则 \(H(z)\) 的 ROC 必包括单位圆；反之亦然。所以 LTI 系统稳定的充要条件是 ROC 包含单位圆。

对于因果稳定的 LTI 系统，其系统函数 \(H(z)\) 如果存在极点，则全部极点必须位于单位圆内。

线性常微分方程

*线性常系数微分方程

如果由线性常系数微分方程描述的系统满足初始松弛条件，则系统是因果 LTI 的，其 \(H(z)\) 的 ROC 必是最外侧极点的外部。

对于由线性常系数微分方程描述的 LTI 系统：

\[ \sum_{k=0}^{N}a_k\cdot y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_k\cdot x[n-k] \]

两边进行 z 变换，可得：

\[ \sum_{k=0}^{N}a_k\cdot z^{-k}\cdot Y(z)=\sum_{k=0}^{M}b_k\cdot z^{-k}\cdot X(z)\\ Y(z)\sum_{k=0}^{N}a_k\cdot z^{-k}=X(z)\sum_{k=0}^{M}b_k\cdot z^{-k} \]

所以：

\[ H(z)={Y(z)\over X(z)}={\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}\over\sum_{k=0}^{N}a_{k}z^{-k}} \]

可得到 \(H(z)\) 是一个有理函数。系统的单位冲激响应 \(h[n]\) 可由 \(H(z)\) 反变换获得。

因果 LTI 系统的方框图表示

• 级联
• 并联
• 反馈联接

直接型表示

级联型表示

将 \(H(z)\) 因式分解，在无重阶极点时可得：

\[ H(z)={\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}\over\sum_{k=0}^{N}a_{k}z^{-k}} =\frac{b_0}{a_0}{\sum_{k=1}^{M}(1+\mu_k z^{-1})\over\sum_{k=1}^{N}(1+\eta_kz^{-k})} \]

当 \(M=N\) 为偶数时，可得：

\[ H(z)=\frac{b_0}{a_0}\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}}{1+\beta_{1k} z^{-1}+\beta_{2k}z^{-2}\over1+\alpha_{1k}z^{-1}+\alpha_{2k}z^{-2}} =\frac{b_0}{a_0}\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}}H_k(z) \]

其中 \(H_k(z)\) 是二阶子系统。系统级联表示为 \(\frac{N}{2}\) 个二阶子系统的级联如下：

并联型表示

将 \(H(z)\) 展开为部分分式，在无重阶极点时可得：

\[ H(z)=\frac{b_0}{a_0}+\sum_{k=1}^{N}\frac{A_k}{1+\eta_kz^{-1}} \]

当 \(M=N\) 为偶数时，可得：

\[ H(z)=\frac{b_0}{a_0}+\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}}{r_{0k}+r_{1k} z^{-1}\over1+\alpha_{1k}z^{-1}+\alpha_{2k}z^{-2}} =\frac{b_0}{a_0}+\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}}H_k'(z) \]

其中 \(H_k'(z)\) 是二阶子系统。系统级联表示为 \(\frac{N}{2}\) 个二阶子系统的并联如下：

单边 z 变换

Unilateral z Transform

单边 z 变换是仅考虑大于 \(-1\) 之后部分信号的双边 z 变换，也就是 \(x[n]\cdot u[n]\) 的双边 z 变换：

\[ \chi(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x[n]z^{-n} \]

单边 z 变换的反变换与同 ROC 的双边 z 变换的反变换相同：

\[ x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz,\ \ n\geq0 \]

\(X(z)\) 与 \(\chi(z)\) 不同，是因为 \(x[n]\) 在 \(n<0\) 的部分对 \(X(z)\) 有作用，而对 \(\chi(z)\) 没有任何作用所致。

由于单边拉普拉斯变换不存在类似双边拉普拉斯变换中与 ROC 相关的多义性，一般不再强调其 ROC ，任何单边 z 变换的 ROC 一定是最外侧极点的外部。

因果信号的双边 z 变换和单边 z 变换完全相同。从而可以利用双边 LT 的基本变换对。

性质

由于单边拉普拉斯变换是特殊的双边拉普拉斯变换，因此其大部分性质与双边拉普拉斯变换相同，主要的不同是时移特性，分为：

• 时移特性
• 时延
• 时间超前

时延

\[ x[n]\stackrel{UzT}{\longleftrightarrow}\chi(z) \Rightarrow \begin{aligned} x[n-1]&\stackrel{UzT}{\longleftrightarrow}z^{-1}\chi(z)+x[-1]\\ x[n-2]&\stackrel{UzT}{\longleftrightarrow}z^{-2}\chi(z)+x[-1]z^{-1}+x[-2]\\ &...... \end{aligned} \]

时间超前

\[ x[n]\stackrel{UzT}{\longleftrightarrow}\chi(z) \Rightarrow x[n+1]\stackrel{UzT}{\longleftrightarrow}z\big(\chi(z)-x[0]\big) \]

差分方程

利用单边 z 变换和时延性质来解具有非零初始条件的线性常系数差分方程，单边 z 变换在将线性常系数差分方程变换为 z 域代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。

往往假定系统为因果系统。该条件下得到的结果在进行单边 z 反变换的时候可以确定为右边信号。

以二阶为例（最高二阶差分），将初始条件带入后，整理得到如下形式：

\[ \begin{aligned} A\gamma(z)&=By[-1]+Cy[-2]+D\chi(z)\\ \gamma(z)&=\frac{B}{A}y[-1]+\frac{C}{A}y[-2]+\frac{D}{A}\chi(z) \end{aligned} \]

其中 \(\frac{D}{A}\chi(z)\) 对应的单边 z 反变换为零状态响应；\(\frac{B}{A}y[-1]+\frac{C}{A}y[-2]\) 对应的单边 z 反变换为零输入响应；

\[ \begin{aligned} \gamma(z)=k_1\frac{1}{1-z^{-1}}+\cdots \end{aligned} \]

其中 \(k_1\frac{1}{1-z^{-1}}\) 为强迫响应，\(k_1\) 为常数，也就是对应的单边 z 反变换为 \(k_1u[n]\) 形式的才是强迫响应；其他都是自然响应；