信号基本概念
能量/功率 信号
能量信号
能量为一有界值，即 0 < E < + ∞，此时 P = 0
Info
有时求 P 不好求，但是 E 好求，可以证明 E 为有界的，从而得到 P = 0
功率信号
功率为一有界值，即 0 < P < + ∞ ，此时 E = ∞
Info
有时求 E 不好求，但是 P 好求，可以证明 P 为有界的，从而得到 E = ∞
信号的分解
偶部与奇部
\[
f(t)=f_e(t)+f_o(t)
\]
偶部：
\[
f_e(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]
\]
奇部：
\[
f_o(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]
\]
实部与虚部
针对复函数而言
\[
f(t)=Re\{f(t)\}+Im\{f(t)\}
\]
实部：
\[
Re\{f(t)\}
\]
虚部：
\[
Im\{f(t)\}
\]
连续/离散 (时间) 信号
Info
区分 模拟/数字 信号，模拟/数字 信号的划分是依据“值域”是否连续，而 连续/离散 时间信号的划分是依据定义域是否连续
连续时间信号 包含 模拟信号 和 数字(量化)信号
周期信号定义
- 连续周期信号 : \(f(t+mT)=f(t)\) , T 为周期 m = 0,±1,±2,±3...
- 离散周期信号 : \(f(k+mN) = f(k)\) , N 为周期 m = 0,±1,±2,±3...
当T或N趋于⽆无穷时，周期信号变为⾮非周期信号。
连续时间信号
定义域连续
在一定时间范围内，除若⼲不连续点之外，对任意时刻函数都有确定的函数值。 “连续”的含义指定义域连续，⽽连续信号中可以含有不连续点。
普通连续信号
普通连续信号是指函数的定义域和值域没有不连续点(即跳变点)的信号。
(实)指数信号
\[
f (t) = Ke^{αt}
\]
指数函数求导、积分后仍为指数函数。
正弦信号
利用正弦函数与余弦函数表示的信号统称为正弦信号，可表示为
\[
f(t)=A\cos(\omega t-\theta)
\]
正弦信号求导、积分后仍然为正弦信号。
指数信号可以转化为正弦信号:
\[
e^{j\omega t}=\cos\ \omega t+j\ \sin\ \omega t \\
e^{-j\omega t}=\cos\ \omega t-j\ \sin\ \omega t
\]
指数信号可以转化为正弦信号:
\[
\sin\ \omega t = \frac{1}{2j}( e^{j\omega t} - e^{-j\omega t})\\
\cos\ \omega t = \frac{1}{2}( e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})
\]
复指数信号
\[
f (t) = Ke^{st} = Ke^{(σ+j\omega)t} = Ke^{σt}(\cos\ ωt + j\ \sin\ ωt)，
\]
其中 \(s=σ+j\omega_0\) 为复数
复指数信号中，\(\sigma\) 决定增长衰减，\(\omega_0\) 决定震荡快慢;
| \(\sigma\) 的大小 |
\(\omega_0\) 的大小 |
最终结果 |
| \(\sigma=1\) |
\(\omega_0\neq0\) |
实部虚部等幅震荡 |
| \(\sigma>1\) |
\(\omega_0\neq0\) |
实部虚部增⻓震荡 |
| \(\sigma<1\) |
\(\omega_0\neq0\) |
实部虚部衰减震荡 |
| \(\sigma≠0\) |
\(\omega_0=0\) |
实部虚部为指数信号 |
| \(\sigma=0\) |
\(\omega_0=0\) |
为直流信号 |
连续复指数信号的周期性
复指数信号是周期信号当且仅当 \(\sigma\) = 1 且 \(\omega_0\neq 0\)
基波周期：\(T=|\frac{2\pi}{\omega_0}|\)
基波频率：\(\omega_0\)
成谐波关系的连续复指数信号集
\[
\{\varphi_k(t) \}=\{ e^{jk\omega_0 t} \}\\
k=0,\pm1,\pm2......
\]
一般假设 \(\omega_0 \gt 0\) ，该集合中的每个信号都是周期的，它们的基波频率分别为 \(k\omega_0\) ，都是 \(\omega_0\) 的整数倍，因而称它们是成谐波关系的。
各次谐波的基波周期分别为 \(T_k =\frac{2\pi}{|k\omega_0|}\) ，它们的公共周期是 \(T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}\)。
- \(k=0\) 称为直流分量
- \(k=\pm1\) 称为基波分量
- \(k=\pm2\) 称为二次谐波分量
- ...等等...
一般连续复指数信号
\[
f (t) = Ke^{st} = |K|e^{j\theta}e^{(σ+j\omega_0)t} = Ke^{σt}e^{j(\omega_0+\theta)}，
\]
其中 \(s=σ+j\omega_0\)， \(K=|K|e^{j\theta}\) 为复数
该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。
抽样信号
\[
Sa(t)=\frac{\sin\ t}{t} \\
\lim_{t\to \infty}Sa(t)=0 \ \ ;\ \ \lim_{t\to 0}Sa(t)=1 \\
\int_{0}^{+\infty}Sa(t)\ d\ t=\frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ \int_{-\infty}^{+\infty}Sa(t)\ d\ t=\pi
\]
高斯函数“钟形信号”
即正态分布 PDF
\[
\varphi(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
奇异信号
奇异信号是指函数本身或其导数与积分有不连续点(即跳变点)的信号。
单位斜坡信号 (ramp)
\[
\begin{aligned}
r(t) =
\begin{cases}
t & t \geq 0 \\
0 & t \lt 0
\end{cases}
\end{aligned}
\]
符号函数 (signal)
\[
\begin{aligned}
sig(t) =
\begin{cases}
1 & t \gt 0 \\
0 & t = 0 \\
-1 & t \lt 0
\end{cases}
\end{aligned}
\]
单位阶跃信号
\[
\begin{aligned}
u(t)=\varepsilon(t) =
\begin{cases}
1 & t \gt 0 \\
\text{undifined} & t = 0 \\
0 & t \lt 0
\end{cases}
\end{aligned}
\]
t = 0 处函数无定义(部分教材规定 t = 0 时取 \(\frac{1}{2}\))
有的教材用 \(u(t)\) 也有的教材用 \(\varepsilon(t)\)
单位延迟阶跃信号
\[
\begin{aligned}
\varepsilon(t-t_0) =
\begin{cases}
1 & t \gt t_0 \\
\text{undifined} & t = t_0 \\
0 & t \lt t_0
\end{cases}
\end{aligned}
\]
物理意义
- ε(t) 表示信号 f (t) = 1 在 t = 0 时刻接⼊系统。
- f (t) ε(t) 表示信号 f (t) 在 t = 0 时刻接入系统。
- f (t) ε(t - t0 )表示信号 f (t) 在 t = t0 时刻接⼊系统。
与斜坡信号的关系
\[
r(t)=t\ \varepsilon(t)\\
\frac{d\ r(t)}{d\ t}=\varepsilon(t) \\
\int_{-\infty}^{t}\varepsilon(\tau)\ d\ \tau=r(t)
\]
(单位)冲激信号
物理定义
\[
\delta(t)=\lim_{\tau\to 0}\frac{1}{\tau}[\varepsilon(t+\frac{\tau}{2})-\varepsilon(t-\frac{\tau}{2})] \\
\delta(t-t_0)=\lim_{\tau\to t_0}\frac{1}{\tau}[\varepsilon(t+\frac{\tau}{2}-t_0)-\varepsilon(t-\frac{\tau}{2}-t_0)]
\]
狄拉克定义
\[
\delta (t)=
\begin{cases}
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t)\ d\ t=1 \\
\delta (t)=0,t\neq 0
\end{cases}
\]
\[
\delta (t-t_0)=
\begin{cases}
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t-t_0)\ d\ t=1 \\
\delta (t)=0,t\neq t_0
\end{cases}
\]
广义函数定义
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t)\ \varphi(t)\ d\ t =\varphi (0) \\
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t-t_0)\ \varphi(t)\ d\ t =\varphi (t_0)
\]
取样性
即广义函数定义，注意在有限区间同样有取样性
尺度变化特性
\[
\delta (a\ t)=\frac{1}{|a|}\delta (t) \\
\delta (a\ t-t_0)=\frac{1}{|a|}\delta (t-\frac{t_0}{a}) \\
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\ \delta (a\ t-t_0)=\frac{1}{|a|}f(\frac{t_0}{a}) \\
a\neq 0
\]
与普通函数相乘
\[
f(t)\ \delta(t)=f(0)\ \delta(t) \\
f(t)\ \delta(t-t_0)=f(t_0)\ \delta(t-t_0)
\]
与阶跃信号的关系
\[
\frac{d}{d\ t}\varepsilon(t)=\delta(t)
\]
若信号的函数值有跳变，则信号在跳变点处的导数为冲激信号，其中冲击强度为信号在跳变点的跳跃值
(单位)冲激偶信号
定义
单位冲激信号的“奇函数版本”，且是单位冲激信号的导函数
\[
\delta '(t)=\frac{d}{d\ t}\delta (t)
\]
Info
单位冲激信号是偶函数；单位冲激偶信号是奇函数！！
二者通过积分和求导可相互转化
与普通函数相乘
\[
f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t) \\
f(t)\delta'(t-t_0)=f(0)\delta'(t-t_0)-f'(0)\delta(t-t_0)
\]
筛选特性
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta'(t)d\ t=-f'(0) \\
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta'(t-t_0)d\ t=-f'(t_0)
\]
尺度变化特性
\[
\delta'(a\ t)=\frac{1}{a|a|}\delta'(t) \\
a\neq 0
\]
离散时间信号
定义域离散
仅在一些离散时刻才有意义，⽽而在其他时刻⽆无定义。离散时间⼀一般为均匀间隔，“离散”是指信号的定义域是离散的。
基本离散信号
单位序列
单位序列列 δ(k) 亦称单位样值序列列，类似于连续时间信号中的 δ(t)
\[
\delta (k)=
\begin{cases}
1 & k=0 \\
0 & k\neq 0
\end{cases}
\]
\[
\delta (k-i)=
\begin{cases}
1 & k=i \\
0 & k\neq i
\end{cases}
\]
单位阶跃序列
单位阶跃序列 ε(k) 类似于连续时间信号中的单位阶跃函数 ε(t)
\[
\varepsilon (k)=
\begin{cases}
1 & k \geq 0 \\
0 & k \lt 0
\end{cases}
\]
\[
\varepsilon (k-i)=
\begin{cases}
1 & k \geq i \\
0 & k \lt i
\end{cases}
\]
单位序列 δ(k) 转化为单位阶跃序列 ε(k)
\[
\varepsilon (k)=\sum_{j=0}^{+\infty}\delta(k-j)
\]
单位阶跃序列 ε(k)转化为单位序列 δ(k)
\[
\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)
\]
单边指数序列
\[
f (k) = \alpha^{k}\varepsilon(k)\ ,\ \ k \in z
\]
当|α| > 1 时，序列列发散，|α| < 1 时，序列列收敛;
当α > 0 时，序列列恒正， α < 0 时，序列列正负交错。
正弦序列
\[
f (k) = \cos\ \omega_0\ k\ ,\ \ k \in z
\]
\(\omega_0\) 为数字角频率，其与连续正弦信号的⻆频率不同，详见数字信号处理
不是所有的正弦序列都是周期序列，因为正弦序列为连续正弦信号的抽样
离散正弦序列的周期性
正弦序列是周期序列当且仅当
\[
\exists k\in z\ \ ,\ \ \omega_0 | 2k\pi
\]
复指数序列
\[
f (k) = e^{(\alpha +j\omega_0)k} = e^{\alpha k}e^{j\omega_0 k}=e^{\alpha k}(\cos\ \omega_0k +j\ \sin\ \omega_0k)\\
k \in z
\]
| α 的大小 |
ω0 的大小 |
最终结果 |
| α = 0 |
\(\omega_0\neq 0\) |
实部虚部均等幅正弦序列 |
| α > 0 |
\(\omega_0\neq 0\) |
实部虚部均增幅正弦序列 |
| α < 0 |
\(\omega_0\neq 0\) |
实部虚部均减幅正弦序列 |
| α ≠ 0 |
\(\omega_0 = 0\) |
为指数序列 |
| α = 0 |
\(\omega_0 = 0\) |
为常数序列 |
离散复指数序列的周期性
\(\alpha=0\)，\(\omega_0\neq0\) 时实部虚部均等幅正弦序列，对应连续复指数信号是周期信号，离散复指数序列才有可能是周期序列，因为离散复指数序列为连续复指数信号的抽样
复指数序列是周期序列当且仅当
\[
\exists N,m\in z\\
\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{N}{m} \\
\Leftrightarrow e^{j\omega_0N} = 1\\
\Leftrightarrow e^{j\omega_0n} = e^{j\omega_0n}\cdot e^{j\omega_0N} = e^{j\omega_0(n+N)} \\
\Leftrightarrow x[k]=x[k+N]
\]
也就是当且仅当 \(\omega_0=q\pi\) 其中 \(q\) 为有理数时复指数序列为周期序列。
当 \(N\) 与 \(m\) 互质（无公因子）时：
基波周期：\(N=\frac{2π}{\omega_0}m\)；
基波频率为：\(\omega=\frac{2π}{N}=\frac{\omega_0}{m}\)；
成谐波关系的离散复指数信号集
\[
\{\varPhi_k[n] \}=\{ e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \}\\
k=0,\pm1,\pm2......
\]
该信号集中的每一个信号都是以 \(N\) 为公共周期的, 频率是 2π 的整数倍。
与连续时间情况不同，该信号集中的信号并不都是彼此独立的。显然有：
\[
\varPhi_{k+N}[n] = \varPhi_k[n]
\]
该信号集中只有 N 个信号是独立的。即当 k 取相连的 \(N\) 个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。
根据集合定义，那么实际上这个信号集的元素个数是 \(N\) 个。
信号的基本运算
平移与反转
连续信号和离散信号的运算一致
- 沿横轴向左平移：\(f(t) \to f(t+t_0)\)
- 沿横轴向右平移：\(f(t) \to f(t-t_0)\)
- 沿纵轴镜像翻转：\(f(t) \to f(-t)\)
尺度变换
对于离散信号，⼀般不做尺度变换，因为可能丢失序列信息，只对连续信号尺度变换
\[
f(t) \to f(a\ t)
\]
横轴变为原来的 \(\frac{1}{a}\) 倍
连续信号的求导与积分
离散信号的差分与求和
好离散信号的前向(一阶)差分
\[
\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)
\]
好离散信号的后向(一阶)差分
\[
\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)
\]
信号的运算的综合运⽤
平移、反折、压缩等各种运算均对独⽴、单一的变量t计算，⽽不是对 at 或 at + b 整体计算
对于f (t) → f(at + b) 先平移，后尺度(含反折)，即f (t) → f(t + b) → f(at + b)
对于f (at + b) → f(t) 先尺度(含反折)，后平移，即f (at + b) → f(t + b) → f(t)