信号基本概念

能量/功率 信号

能量信号

能量为一有界值，即 0 < E < + ∞，此时 P = 0

Info

有时求 P 不好求，但是 E 好求，可以证明 E 为有界的，从而得到 P = 0

功率信号

功率为一有界值，即 0 < P < + ∞ ，此时 E = ∞

Info

有时求 E 不好求，但是 P 好求，可以证明 P 为有界的，从而得到 E = ∞

信号的分解

偶部与奇部

$$f(t)=f_e(t)+f_o(t)$$

偶部：

$$f_e(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]$$

奇部：

$$f_o(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]$$

实部与虚部

针对复函数而言

$$f(t)=Re\{f(t)\}+Im\{f(t)\}$$

实部：

$$Re\{f(t)\}$$

虚部：

$$Im\{f(t)\}$$

连续/离散 (时间) 信号

Info

区分 模拟/数字 信号，模拟/数字 信号的划分是依据“值域”是否连续，而 连续/离散 时间信号的划分是依据定义域是否连续

连续时间信号 包含 模拟信号 和 数字(量化)信号

周期信号定义

• 连续周期信号 : $f(t+mT)=f(t)$ , T 为周期 m = 0,±1,±2,±3...
• 离散周期信号 : $f(k+mN)=f(k)$ , N 为周期 m = 0,±1,±2,±3...

当T或N趋于⽆无穷时，周期信号变为⾮非周期信号。

连续时间信号

定义域连续

在一定时间范围内，除若⼲不连续点之外，对任意时刻函数都有确定的函数值。 “连续”的含义指定义域连续，⽽连续信号中可以含有不连续点。

普通连续信号

普通连续信号是指函数的定义域和值域没有不连续点(即跳变点)的信号。

(实)指数信号

$$f(t)=K{e}^{\alpha t}$$

指数函数求导、积分后仍为指数函数。

正弦信号

利用正弦函数与余弦函数表示的信号统称为正弦信号，可表示为

$$f(t)=A\cos (\omega t-\theta )$$

正弦信号求导、积分后仍然为正弦信号。

指数信号可以转化为正弦信号:

$$\begin{gathered} e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t \\ {e}^{-j\omega t}=\cos \omega t-j\sin \omega t \end{gathered}$$

指数信号可以转化为正弦信号:

$$\begin{gathered} \sin \omega t=\frac{1}{2j}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}) \\ \cos \omega t=\frac{1}{2}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}) \end{gathered}$$

复指数信号

$$f(t)=K{e}^{st}=K{e}^{(\sigma +j\omega )t}=K{e}^{\sigma t}(\cos \omega t+j\sin \omega t)，$$

其中 $s=\sigma +j{\omega }_0$ 为复数

复指数信号中，$\sigma$ 决定增长衰减，${\omega }_0$ 决定震荡快慢;

$\sigma$ 的大小	${\omega }_0$ 的大小	最终结果
$\sigma =1$	${\omega }_0\ne 0$	实部虚部等幅震荡
$\sigma >1$	${\omega }_0\ne 0$	实部虚部增⻓震荡
$\sigma <1$	${\omega }_0\ne 0$	实部虚部衰减震荡
$\sigma ≠0$	${\omega }_0=0$	实部虚部为指数信号
$\sigma =0$	${\omega }_0=0$	为直流信号

连续复指数信号的周期性

复指数信号是周期信号当且仅当 $\sigma$ = 1 且 ${\omega }_0\ne 0$

基波周期：$T=|\frac{2\pi }{{\omega }_0}|$

基波频率：${\omega }_0$

成谐波关系的连续复指数信号集

$$\begin{gathered} \{{\phi }_k(t)\}=\{e^{jk{\omega }_{0}t}\} \\ k=0,\pm 1,\pm 2...... \end{gathered}$$

一般假设 ${\omega }_0>0$ ，该集合中的每个信号都是周期的，它们的基波频率分别为 $k{\omega }_0$ ，都是 ${\omega }_0$ 的整数倍，因而称它们是成谐波关系的。

各次谐波的基波周期分别为 $T_k=\frac{2\pi }{|k{\omega }_0|}$ ，它们的公共周期是 $T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$。

• $k=0$ 称为直流分量
• $k=\pm 1$ 称为基波分量
• $k=\pm 2$ 称为二次谐波分量
• ...等等...

一般连续复指数信号

$$f(t)=K{e}^{st}=|K|e^{j\theta }{e}^{(\sigma +j{\omega }_0)t}=K{e}^{\sigma t}{e}^{j({\omega }_0+\theta )}，$$

其中 $s=\sigma +j{\omega }_0$， $K=|K|e^{j\theta }$ 为复数

该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。

抽样信号

$$\begin{gathered} Sa(t)=\frac{\sin t}{t} \\ \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}Sa(t)=0;\underset{t\to 0}{lim}Sa(t)=1 \\ {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}Sa(t)dt=\frac{\pi }{2};{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}Sa(t)dt=\pi \end{gathered}$$

高斯函数“钟形信号”

即正态分布 PDF

$$\phi (t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

奇异信号

奇异信号是指函数本身或其导数与积分有不连续点(即跳变点)的信号。

单位斜坡信号 (ramp)

$$\begin{array}{r}r(t)=\{\begin{array}{ll}t& t\ge 0\\ 0& t<0\end{array}\end{array}$$

符号函数 (signal)

$$\begin{array}{r}sig(t)=\{\begin{array}{ll}1& t>0\\ 0& t=0\\ -1& t<0\end{array}\end{array}$$

单位阶跃信号

$$\begin{array}{r}u(t)=\epsilon (t)=\{\begin{array}{ll}1& t>0\\ \text{undifined}& t=0\\ 0& t<0\end{array}\end{array}$$

t = 0 处函数无定义(部分教材规定 t = 0 时取 $\frac{1}{2}$)

有的教材用 $u(t)$ 也有的教材用 $\epsilon (t)$

单位延迟阶跃信号

$$\begin{array}{r}\epsilon (t-t_0)=\{\begin{array}{ll}1& t>t_0\\ \text{undifined}& t=t_0\\ 0& t<t_0\end{array}\end{array}$$

物理意义

• ε(t) 表示信号 f (t) = 1 在 t = 0 时刻接⼊系统。
• f (t) ε(t) 表示信号 f (t) 在 t = 0 时刻接入系统。
• f (t) ε(t - t₀ )表示信号 f (t) 在 t = t₀ 时刻接⼊系统。

与斜坡信号的关系

$$\begin{gathered} r(t)=t\epsilon (t) \\ \frac{dr(t)}{dt}=\epsilon (t) \\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^t\epsilon (\tau )d\tau =r(t) \end{gathered}$$

(单位)冲激信号

物理定义

$$\begin{gathered} \delta (t)=\underset{\tau \to 0}{lim}\frac{1}{\tau }[\epsilon (t+\frac{\tau }{2})-\epsilon (t-\frac{\tau }{2})] \\ \delta (t-t_0)=\underset{\tau \to t_0}{lim}\frac{1}{\tau }[\epsilon (t+\frac{\tau }{2}-t_0)-\epsilon (t-\frac{\tau }{2}-t_0)] \end{gathered}$$

狄拉克定义

$$\delta (t)=\{\begin{array}{l}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)dt=1\\ \delta (t)=0,t\ne 0\end{array}$$

$$\delta (t-t_0)=\{\begin{array}{l}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-t_0)dt=1\\ \delta (t)=0,t\ne t_0\end{array}$$

广义函数定义

$$\begin{gathered} {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)\phi (t)dt=\phi (0) \\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-t_0)\phi (t)dt=\phi (t_0) \end{gathered}$$

取样性

即广义函数定义，注意在有限区间同样有取样性

尺度变化特性

$$\begin{gathered} \delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t) \\ \delta (at-t_0)=\frac{1}{|a|}\delta (t-\frac{t_0}{a}) \\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\delta (at-t_0)=\frac{1}{|a|}f(\frac{t_0}{a}) \\ a\ne 0 \end{gathered}$$

与普通函数相乘

$$\begin{gathered} f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t) \\ f(t)\delta (t-t_0)=f(t_0)\delta (t-t_0) \end{gathered}$$

与阶跃信号的关系

$$\frac{d}{dt}\epsilon (t)=\delta (t)$$

若信号的函数值有跳变，则信号在跳变点处的导数为冲激信号，其中冲击强度为信号在跳变点的跳跃值

(单位)冲激偶信号

定义

单位冲激信号的“奇函数版本”，且是单位冲激信号的导函数

$${\delta }^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\delta (t)$$

Info

单位冲激信号是偶函数；单位冲激偶信号是奇函数！！

二者通过积分和求导可相互转化

与普通函数相乘

$$\begin{gathered} f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t) \\ f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)=f(0){\delta }^{\prime }(t-t_0)-f^{\prime }(0)\delta (t-t_0) \end{gathered}$$

筛选特性

$$\begin{gathered} {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-f^{\prime }(0) \\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)dt=-f^{\prime }(t_0) \end{gathered}$$

尺度变化特性

$$\begin{gathered} {\delta }^{\prime }(at)=\frac{1}{a|a|}{\delta }^{\prime }(t) \\ a\ne 0 \end{gathered}$$

离散时间信号

定义域离散

仅在一些离散时刻才有意义，⽽而在其他时刻⽆无定义。离散时间⼀一般为均匀间隔，“离散”是指信号的定义域是离散的。

基本离散信号

单位序列

单位序列列 δ(k) 亦称单位样值序列列，类似于连续时间信号中的 δ(t)

$$\delta (k)=\{\begin{array}{ll}1& k=0\\ 0& k\ne 0\end{array}$$

$$\delta (k-i)=\{\begin{array}{ll}1& k=i\\ 0& k\ne i\end{array}$$

单位阶跃序列

单位阶跃序列 ε(k) 类似于连续时间信号中的单位阶跃函数 ε(t)

$$\epsilon (k)=\{\begin{array}{ll}1& k\ge 0\\ 0& k<0\end{array}$$

$$\epsilon (k-i)=\{\begin{array}{ll}1& k\ge i\\ 0& k<i\end{array}$$

单位序列 δ(k) 转化为单位阶跃序列 ε(k)

$$\epsilon (k)=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\delta (k-j)$$

单位阶跃序列 ε(k)转化为单位序列 δ(k)

$$\delta (k)=\epsilon (k)-\epsilon (k-1)$$

单边指数序列

$$f(k)={\alpha }^k\epsilon (k),k\in z$$

当|α| > 1 时，序列列发散，|α| < 1 时，序列列收敛;

当α > 0 时，序列列恒正， α < 0 时，序列列正负交错。

正弦序列

$$f(k)=\cos {\omega }_{0}k,k\in z$$

${\omega }_0$ 为数字角频率，其与连续正弦信号的⻆频率不同，详见数字信号处理

不是所有的正弦序列都是周期序列，因为正弦序列为连续正弦信号的抽样

离散正弦序列的周期性

正弦序列是周期序列当且仅当

$$\mathrm{\exists }k\in z,{\omega }_0|2k\pi$$

复指数序列

$$\begin{gathered} f(k)=e^{(\alpha +j{\omega }_0)k}=e^{\alpha k}{e}^{j{\omega }_{0}k}=e^{\alpha k}(\cos {\omega }_{0}k+j\sin {\omega }_{0}k) \\ k\in z \end{gathered}$$

α 的大小	ω0 的大小	最终结果
α = 0	${\omega }_0\ne 0$	实部虚部均等幅正弦序列
α > 0	${\omega }_0\ne 0$	实部虚部均增幅正弦序列
α < 0	${\omega }_0\ne 0$	实部虚部均减幅正弦序列
α ≠ 0	${\omega }_0=0$	为指数序列
α = 0	${\omega }_0=0$	为常数序列

离散复指数序列的周期性

$\alpha =0$，${\omega }_0\ne 0$ 时实部虚部均等幅正弦序列，对应连续复指数信号是周期信号，离散复指数序列才有可能是周期序列，因为离散复指数序列为连续复指数信号的抽样

复指数序列是周期序列当且仅当

$$\begin{gathered} \mathrm{\exists }N,m\in z \\ \frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{N}{m} \\ \iff e^{j{\omega }_{0}N}=1 \\ \iff e^{j{\omega }_{0}n}=e^{j{\omega }_{0}n}\cdot e^{j{\omega }_{0}N}=e^{j{\omega }_0(n+N)} \\ \iff x[k]=x[k+N] \end{gathered}$$

也就是当且仅当 ${\omega }_0=q\pi$ 其中 $q$ 为有理数时复指数序列为周期序列。

当 $N$ 与 $m$ 互质（无公因子）时：

基波周期：$N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}m$；

基波频率为：$\omega =\frac{2\pi }{N}=\frac{{\omega }_0}{m}$；

成谐波关系的离散复指数信号集

$$\begin{gathered} \{{\Phi }_k[n]\}=\{e^{j\frac{2\pi }{N}kn}\} \\ k=0,\pm 1,\pm 2...... \end{gathered}$$

该信号集中的每一个信号都是以 $N$ 为公共周期的, 频率是 2π 的整数倍。

与连续时间情况不同，该信号集中的信号并不都是彼此独立的。显然有：

$${\Phi }_{k+N}[n]={\Phi }_k[n]$$

该信号集中只有 N 个信号是独立的。即当 k 取相连的 $N$ 个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。

根据集合定义，那么实际上这个信号集的元素个数是 $N$ 个。

Info

这里 “相互独立” 的意思是互不相等

信号的基本运算

平移与反转

连续信号和离散信号的运算一致

• 沿横轴向左平移：$f(t)\to f(t+t_0)$
• 沿横轴向右平移：$f(t)\to f(t-t_0)$
• 沿纵轴镜像翻转：$f(t)\to f(-t)$

尺度变换

对于离散信号，⼀般不做尺度变换，因为可能丢失序列信息，只对连续信号尺度变换

$$f(t)\to f(at)$$

横轴变为原来的 $\frac{1}{a}$ 倍

连续信号的求导与积分

离散信号的差分与求和

好离散信号的前向(一阶)差分

$$\mathrm{\Delta }f(k)=f(k+1)-f(k)$$

好离散信号的后向(一阶)差分

$$\mathrm{\nabla }f(k)=f(k)-f(k-1)$$

信号的运算的综合运⽤

平移、反折、压缩等各种运算均对独⽴、单一的变量t计算，⽽不是对 at 或 at + b 整体计算

对于f (t) → f(at + b) 先平移，后尺度(含反折)，即f (t) → f(t + b) → f(at + b)

对于f (at + b) → f(t) 先尺度(含反折)，后平移，即f (at + b) → f(t + b) → f(t)