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离散/连续时间傅里叶系数/变换的对偶关系

归纳总结

Abstract

缩写:

  • CTFS——连续时间傅里叶级数
  • DTFS——离散时间傅里叶级数
  • CTFT——连续时间傅里叶变换
  • DTFT——离散时间傅里叶变换

一图归纳:

归纳

信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系:

  • 时域的周期性——频域的离散性
  • 时域的非周期性——频域的连续性
  • 时域的离散性——频域的周期性
  • 时域的连续性——频域的非周期性

CTFT 的对偶

x(t)CTFTX(jω) ,则有:

x(t)=12π+X(jω)ejωtdω2πx(t)=+X(jω)ejωtdω2πx(ω)=+X(jt)ejωtdt2πx(ω)=+X(jt)ejωtdt

可得到对偶关系:

x(t)CTFTX(jω)X(jt)CTFT2πx(ω)

利用这一对偶关系,可以将 CTFT 时域的某些特性对偶到频域,或者反之。

DFS 的对偶

ak=1Nn=Nx[n]ej2πNkn

ak 本身也是以 N 为周期的序列,用 n 变量代换 n ,则可以将 ak 写为离散时间傅里叶级数(DFS)的形式:

ak=n=N1Nx[n]ej2πNkn

也就是(将 kn 变量交换):

an=k=N1Nx[k]ej2πNkn

可以得到对偶关系;

x[n]DFSakanDFS1Nx[k]

利用这一对偶关系,可以将 DFS 在时域的性质推广至频域,或者反之。

DTFT 与 CFS 间的对偶

x[n] 的离散时间傅里叶正变换(DTFT)X(ejω) 是以 2π 为周期的连续函数。如果将其视为连续时间信号 X(ejt) ,则可以表示为连续时间傅里叶级数(CFS)的形式:

X(ejt)=n=+x[n]ejtn=k=+x[k]ejkt

于是就有对偶关系:

x[n]DTFTX(ejω)X(ejt)DFSx[k]

利用这一对偶关系,可以将 DTFT 的若干特性对偶到 CFS 中去,或者反之。