离散/连续时间傅里叶系数/变换的对偶关系
归纳总结¶
Abstract
缩写：
- CTFS——连续时间傅里叶级数
- DTFS——离散时间傅里叶级数
- CTFT——连续时间傅里叶变换
- DTFT——离散时间傅里叶变换
一图归纳：
信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：
- 时域的周期性——频域的离散性
- 时域的非周期性——频域的连续性
- 时域的离散性——频域的周期性
- 时域的连续性——频域的非周期性
CTFT 的对偶¶
若 \(x(t)\stackrel{CTFT}{\longleftrightarrow}X(j\omega)\) ，则有：
\[
\begin{aligned}
x(t)
&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t}d\omega\\
2\pi x(t)
&=\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t}d\omega\\
2\pi x(\omega)
&=\int_{-\infty}^{+\infty} X(jt) e^{j\omega t}dt\\
2\pi x(-\omega)
&=\int_{-\infty}^{+\infty} X(jt) e^{-j\omega t}dt\\
\end{aligned}
\]
可得到对偶关系：
\[
x(t)\stackrel{CTFT}{\longleftrightarrow}X(j\omega)\\\\
X(jt)\stackrel{CTFT}{\longleftrightarrow}2\pi x(-\omega)
\]
利用这一对偶关系，可以将 CTFT 时域的某些特性对偶到频域，或者反之。
DFS 的对偶¶
\[
a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
\]
\(a_k\) 本身也是以 \(N\) 为周期的序列，用 \(-n\) 变量代换 \(n\) ，则可以将 \(a_k\) 写为离散时间傅里叶级数（DFS）的形式：
\[
a_k=\sum_{n=\langle N\rangle}\frac{1}{N}x[-n]\cdot e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
\]
也就是（将 \(k\) 和 \(n\) 变量交换）：
\[
a_n=\sum_{k=\langle N\rangle}\frac{1}{N}x[-k]\cdot e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
\]
可以得到对偶关系；
\[
\begin{aligned}
x[n]&\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}a_k\\\\
a_n&\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\frac{1}{N}x[-k]
\end{aligned}
\]
利用这一对偶关系，可以将 DFS 在时域的性质推广至频域，或者反之。
DTFT 与 CFS 间的对偶¶
\(x[n]\) 的离散时间傅里叶正变换（DTFT）\(X(e^{j\omega})\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数。如果将其视为连续时间信号 \(X(e^{jt})\) ，则可以表示为连续时间傅里叶级数（CFS）的形式：
\[
\begin{aligned}
X(e^{jt})
&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\cdot e^{-jtn}\\
&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[-k]\cdot e^{jkt}
\end{aligned}
\]
于是就有对偶关系：
\[
\begin{aligned}
x[n]&\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j\omega})\\\\
X(e^{jt})&\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}x[-k]
\end{aligned}
\]
利用这一对偶关系，可以将 DTFT 的若干特性对偶到 CFS 中去，或者反之。