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周期信号的傅里叶级数表示

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

连续时间傅里叶级数

谐波关系的复指数信号集:ejkω0t,   k=0,±1,±2, ,满足:

  • 每个信号周期为:2π|ω|=2π|kω0|
  • 公共周期为:T=2π|ω0|
  • 各信号彼此独立

这些信号的线性组合称为(连续)傅里叶级数

x(t)=k=+akejkω0t,   k=0,±1,±2,

则有:

  • 基波频率 ω0,即 k=1 时的频率 ω=kω0
  • (基波)周期: T=2π|ω0|
  • ak 称为傅立叶级数的系数
  • k = 0 对应直流分量
  • k = ±1 对应一次谐波
  • k = ±2 对应二次谐波

频谱图

在傅里叶级数中,各个信号分量(谐波分量)间的区别仅仅是系数频率不同。

因此,可以用线段来表示分量的系数,用线段的位置表示相应的频率(谐波次数)

实系数傅里叶级数

x(t)=k=+akejkω0t,   k=0,±1,±2,,   akR

可以表示为:

频谱图1

akC 为复系数傅里叶级数时,通常分幅度与相位分别作图:

频谱图2

确定系数

如果周期信号 x(t)可以表示为傅里叶级数:

x(t)=k=+akejkω0t,   k=0,±1,±2,,   ω0=2πT

则有:

x(t)ejnω0t=k=+akej(kn)ω0t

对两边同时在一个周期内积分,有:

0Tx(t)ejnω0tdy=k=+ak0Tej(kn)ω0tdt

其中:

0Tej(kn)ω0tdt=0Tcos((kn)ω0t)dt+j0Tsin((kn)ω0t)dt={0,   knT,   k=n

所以:

0Tx(t)ejnω0tdt=k=+ak0Tej(kn)ω0tdt=anT

可得 an

an=1T0Tx(t)ejnω0tdt

在确定此积分时,只要积分区间是一个周期即可,对积分区间的起止并无特别要求,因此可表示为:

ak=1TTx(t)ejkω0tdt=1TTx(t)[cos(kω0t)j sin(kω0t)]dt

n=0 时信号在一个周期的平均值,通常称直流分量

a0=1TTx(t)dt

周期性矩形脉冲信号

周期性矩形脉冲信号

ak=1TTx(t)ejkω0tdt=1TT1T1ejkω0tdt=1jkω0Tejkω0t|T1T1=2sin(kω0T1)kω0T=2T1T2sin(kω0T1)kω0T1(ω0=2πT)=2T1TSa(kπ2T1T)

其中 Sa(...) 是抽样信号:

Sa(x)=sinxx

基波频率为:ω0=2πT

类似地:

sinc(x)=sinπxπx

抽样信号

不同占空比的周期性矩形脉冲信号的傅里叶级数表示:

不同占空比的周期性矩形脉冲信号的傅里叶级数表示

收敛性

x(t) 以 T 为周期,用有限项级数:

xN(t)=k=NNakejkω0t

近似 x(t) 时,定义误差:

eN(t)=x(t)xN(t)=x(t)k=NNakejkω0t

误差在一个周期内的能量为:

EN=T|eN(t)|2dt

可以证明,要使 EN 最小,应有:

ak=1TTx(t)ejkω0tdt

结论:在误差能量EN 最小的准则下,傅里叶级数是对周期信号的最佳近似

收敛的充分条件

两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。

相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组,因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性

平方可积条件

如果:

T|x(t)|2dt<

ak 必存在。

此时 x(t)与其傅里叶级数表示之间没有能量上的区别

Dirichlet 条件

(1)x(t) 在任何周期内信号绝对可积,即:

T|x(t)|dt<

(2)在任何有限区间内,只有有限个极值点,且极值为有限值

(3)在任何有限区间内,只有有限个间断点,且在这些间断点上,函数值有限

Dirichlet 条件保证在间断点之外 x(t) 等于它的傅里叶级数;而在间断点上,该无穷级数收敛于间断点两边值的平均值

实信号的傅里叶级数其他形式(如考)

x(t) 是实信号,则有 :

x(t)=x(t)

从而有:

x(t)=[k=+akejkω0t]

Gibbs 现象

满足 Dirichlet 条件的信号,其傅里叶级数是如何收敛于 x(t) 的?特别当 x(t) 具有间断点时,在间断点附近,如何收敛于 x(t) ?

Gibbs 现象表明:

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时,在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多,振荡频率变高,并向间断点处压缩,从而使它所占有的能量减少


离散时间周期信号的傅里叶级数表示

离散时间傅里叶级数

谐波关系的复指数信号集:Φk[n]={ej2πNkt},   k=0,±1,±2, ,满足:

  • 每个信号周期为:Nk
  • 公共周期为:N
  • 各信号彼此独立

这些信号的线性组合称为离散傅里叶级数

x[n]=k=Nakej2πNkn,   k=0,±1,±2,

⭐其中 N 表示一个总共 N 个的连续序列,起始和结束没有要求。

则有:

  • 基波频率 ω0=2πN,即 k=1 时的频率 ω=kω0=2kπN
  • (基波)周期:N
  • ak 为傅立叶级数的系数,也称为 x[n]频谱系数

确定系数

x[n]=k=Nakej2πNkt 两边同时乘 ej2πNrn ,可得:

x[n]ej2πNrn=k=Nakej2πN(kr)n

显然 x[n]ej2πNrn 仍然是以 N 为周期的,对两边求和:

n=Nx[n]ej2πNrn=n=Nk=Nakej2πN(kr)n=k=Nakn=Nej2πN(kr)n

其中:

n=Nej2πN(kr)n=n=0N1ej2πN(kr)n=1ej(kr)2π1ej(kr)2πN={0,   krN,   k=r

从而:

n=Nx[n]ej2πNrn=Nar

即可得:( r 换成了 k )

ak=1Nn=Nx[n]ej2πNkn

显然上式满足 ak+N=ak ,即也是以 N 为周期的,或者说 ak 中只有 N 个是独立的

周期性方波序列

周期性方波序列

ak=1Nn=Nx[n]ej2πNkn=1Nn=N1N1ej2πNkn=1Nej2πNkN1ej2πNk(N1+1)1ej2πNk=1NejπNkejπNkej2πNk(N1+12)ej2πNk(N1+12)ejπNkejπNk=1NsinπNk(2N1+1)sinπNk,    k0,±N,±2N,=1Nsinkω0(N1+12)sinkω02,    k0,±N,±2N,
ak=2N1+1N,    k=rN

收敛性

离散时间傅里叶级数是一个有限项的级数,确定 ak 的关系式也是有限项的和式,因而不存在收敛问题,也不会产生 Gibbs 现象

LTI 系统对复指数信号的响应

特征函数与特征值

考查 LTI 系统对复指数信号 est 作为输入时的响应

连续复指数信号输入

y(t)=+es(tτ)h(τ)dτ=est+esτh(τ)dτ=estH(s)

其中:

H(s)=+esτh(τ)dτ

考查 LTI 系统对复指数信号 zn 作为输入时的响应

离散复指数信号输入

y[n]=k=+znkh[k]=znk=+zkh[k]=znH(z)

其中:

H(z)=k=+zkh[k]

如果系统对某一信号的响应是该信号乘以一个常数,则称该信号是这个系统的特征函数,称该常数为系统与特征函数相对应的特征值

Abstract

类比线性代数中的特征向量和特征值

复指数函数 estzn一切 LTI 系统的特征函数H(s)H(z) 分别是 LTI 系统与复指数信号相对应的特征值。这为后面的=

频率响应

对时域的任何一个信号 x(t) 或者 x[n],若能将其表示为下列形式:

x(t)=kak esktx[n]=kak zkn

s=jω ,考虑形如 ejωt 的基本信号,则有连续时间傅里叶级数与傅里叶级数变换:

H(jω) 被称为连续时间 LTI 系统的频率响应

H(jω)=+h(t)ejωtdt

z=ejω ,考虑形如 ejωn 的基本信号,则有离散时间傅里叶级数与傅里叶级数变换;

H(ejω) 称为离散时间 LTI 系统的频率响应

H(ejω)=n=+h[n]ejωn

利用 LTI 系统的特征函数以及齐次性与叠加性,则有:

输入响应
ejωtejωt H(jω)x(t)=kak ejkω0ty(t)=kak ejkω0t H(jkω0)
ejωnejωn H(ejω)x[n]=kak ej2πNkny[n]=kak ej2πNkn H(ej2πNk)

Abstract

有的题目里会有ω=kω0关系,直接给出H(jω)H(ejω)

LTI 系统对周期信号的响应仍是一个周期信号;

LTI 系统频率响应的意义在于对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理.

滤波

滤波:改变信号中各频率分量的相对大小或消除某些频率分量的过程。

  • 频率成形滤波器:改变信号频谱形状的滤波器
  • 频率选择性滤波器:基本上无失真地通过某些频率,而显著地衰减或消除另一些频率的滤波器

微分器

属于频率成形滤波器

H(jω)=+u1(t)ejωtdt=jω

幅度特性:

幅度特性

相位特性:

相位特性

低通滤波器 LPF

Lowpass filter,通过低频分量,衰减或阻止高频分量

高通滤波器 HPF

Highpass filter,通过高频而衰减或阻止低频

带通滤波器 BPF

Bandpass filter,通过一频带范围,衰减或阻止这一频带之外的频率分量

带阻滤波器

Band-stop filter 或 band-rejection filter

微分方程描述的连续时间滤波器

RC 低通滤波器

RC-C电压的响应

频率响应 H(jω),设系统初始松弛,则该系统为 LTI 系统,输入 vs(t)=ejωt 将产生输出 vc(t)=H(jω)ejωt ,因此:

RCddtvc(t)+vc(t)=vs(t)RCddt[H(jω)ejωt]+H(jω)ejωt=ejωt

可得:

H(jω)=11+RCjω|H(jω)|=1s1+(RCω)2H(jω)=arctan(RCω)

RC低通

RC 高通滤波器

RC-R电压的响应

RCddtvr(t)+vr(t)=RCddtvs(t)

H(jω)ejωt+G(jω)ejωt=ejωt 可利用已经求得的 H(jω) 得到 :可得:

G(jω)=1H(jω)=111+RCjω=RCjω1+RCjω
H(jω)=RCjω1+RCjω|H(jω)|=RC|ω|s1+(RCω)2H(jω)=arctan(1RCω)

RC高通

差分方程描述的离散时间滤波器

Abstract

这一部分在我刚学这门课时觉得比较难,但还是记了这些笔记。

但后面学了 CTFT、DTFT、LT、zT 后运用后面的方法会发现这里的分析其实很简单,不必按照这里的方法分析。

一阶递归离散时间滤波器

对于由一阶差分方程描述的 LTI 系统

y[n]ay[n1]=x[n]

输入 x[n]=ejωn 将产生输出 y[n]=H(ejω)ejωn ,因此:

H(ejω)ejωnaH(ejω)ejω(n1)=ejωn
H(ejω)=11aejω

非递归离散时间滤波器

移动均值滤波器

输出信号=输入信号的时移和

三点

三点移动均值滤波器中,输入与输出的关系是:

y[n]=13(x[n1]+x[n]+x[n+1])

单位脉冲响应为:

h[n]=13(δ[n1]+δ[n]+δ[n+1])

则频率响应为:

H(ejω)=n=+h[n]ejωn=13[ejω+1+ejω]=13+23cosω
N+M+1 点

N+M+1 移动均值滤波器中,输入与输出的关系是:

y[n]=1N+M+1k=NMx[nk]

单位脉冲响应为:

h[n]=1N+M+1k=NMδ[nk]

则频率响应为:

H(ejω)=1N+M+1n=+k=NMδ[nk]ejωn=1N+M+1k=NMn=+δ[nk]ejωn=1N+M+1k=NMδ[nk]ejωk=1N+M+1ejωNM2sinω(N+M+1)2sin(ω2)

差分滤波器

这个名字是我乱起的,为了和移动均值滤波器“对偶”也好分类

输出信号=输入信号的时移差,也就是输出信号=输入信号的差分

(两点)

两点差分滤波器这个名字也是我乱起的

输入与输出的关系是:

y[n]=12(x[n]x[n1])

单位脉冲响应为:

h[n]=12(δ[n]δ[n1])

则频率响应为:

H(ejω)=n=+h[n]ejωn=12[1ejω]=je12jωsin(ω2)
|H(ejω)|=|sin(ω2)|

两点差分滤波器