离散时间信号的傅里叶变换

公式表

基本傅里叶变换对

性质

非周期信号

FT 公式推导

定义 \(\widetilde{x}[n]\) 为 \(x[n]\) 的周期延拓，以 \(N\) 为周期，\(x[n]\) 是 \(\widetilde{x}[n]\) 的一个周期。

当 \(T\to\infty\) 时，在 \((-\infty,+\infty)\) 内 \(\widetilde{x}[n]=x[n]\) ；在该极限情况下有 \(\widetilde{x}[n]\) 的傅里叶级数表示：

\[ \widetilde{x}[n]=\sum_{n=\langle N\rangle}a_{k}e^{jk\omega_{0}n} \]

其中基波周期 \(\omega_0=\frac{2\pi}{N}\) ，可得：

\[ a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle}\widetilde{x}[n]e^{-jk\omega_{0}n}=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle}x[n]e^{-jk\omega_{0}n} \]

定义（傅里叶正变换）：

\[ X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n} \]

从而 \(a_k\) 可以表示为：

\[ a_k=\frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0 n}) \]

Abstract

\(X(e^{j\omega})\) 是以 \(2\pi\) 为周期的。

因此在任意一个周期（\(2\pi\)）内就有：

\[ \begin{aligned} x[n]=\widetilde{x}[n] &=\sum_{n=\langle N\rangle}a_{k}\ e^{jk\omega_{0}n}\\ &=\sum_{n=\langle N\rangle}\frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0 n})\ e^{jk\omega_{0}n}\\ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=\langle N\rangle}X(e^{jk\omega_0 n})\ e^{jk\omega_{0}n}\omega_0 \end{aligned} \]

令 \(\omega=k\omega_0\) 作变量代换，有 \(\Delta\omega=\omega_0\) ，且当 \(k\) 在一个周期范围内变化时，\(kω_0\) 在 \(2\pi\) 范围变化（所以积分区间为 \(2\pi\) ）；当 \(T\to\infty\) 时，\(\omega_0=\frac{2\pi}{N}\to0\)，即 \(\Delta\omega\to d\omega\) 则得到（傅里叶反变换）：

\[ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega \]

收敛性

当 \(x[n]\) 是无限长序列时，由于 \(X(e^{j\omega})\) 的表达式是无穷项级数，会存在收敛问题。

收敛的 2 个不等价的充分条件：

• 平方可和
• 绝对可和

当 \(x[n]\) 的傅里叶变换 \(X(e^{j\omega})\) 存在时，其反变换不会产生 Gibbs 现象，也不存在收敛性问题

常见信号的 FT

衰减脉冲(单侧)

*名字是我乱起的

\[ x[n]=a^nu[n]\ \ \ \ \ |a|\lt1 \]

有傅里叶正变换：

\[ X(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{+\infty}a^ne^{-j\omega n} =\sum_{n=0}^{+\infty}(ae^{-j\omega})^n =\frac{1}{1-ae^{-j\omega}} \]

其模与相位表达式分别为：

\[ |X(e^{(j\omega)}|=\frac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos\omega}}\\ \arg X(e^{(j\omega)}=-\arctan\frac{a\sin\omega}{1-a\cos\omega} \]

衰减脉冲(双侧)

*名字是我乱起的

\[ x[n]=a^{|n|}\ \ \ \ \ |a|\lt1 \]

\[ x[n]=a^{-n}u[-n-1]+a^nu[n] \]

有傅里叶正变换：

\[ \begin{aligned} X(e^{j\omega}) &=\sum_{n=-\infty}^{-1}a^{-n}e^{-j\omega n}+\sum_{n=0}^{+\infty}a^ne^{-j\omega n}\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}a^{n}e^{j\omega n}+\sum_{n=0}^{+\infty}a^ne^{-j\omega n}\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}(ae^{j\omega})^n+\sum_{n=0}^{+\infty}(ae^{-j\omega})^n\\ &=\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}+\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}\\ &=\frac{1-a^2}{1+a^2-2a\cos\omega} \end{aligned} \]

冲激信号

\[ x[n]=\delta[n] \]

有傅里叶正变换：

\[ X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta[n]e^{-j\omega n}=1 \]

与 \(\delta(t)\) 类似，\(\delta[n]\) 中也包括所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同

矩形脉冲

\[ x[n]= \begin{cases} 1,\ \ \ |n|\leq N_1\\ 0,\ \ \ |n|\gt N_1 \end{cases} \]

有傅里叶正变换：

\[ X(e^{j\omega})=\sum_{n=-N_1}^{+N_1}e^{-j\omega n}=\frac{\sin[(2N_1+1)\frac{\omega}{2}]}{\sin\frac{\omega}{2}} \]

显然，将 \(X(e^{j\omega})\) 中的 \(\omega\) 代之以 \(k\omega_0\) 再乘以 \(\frac{1}{N}\) ，即是相应周期延拓序列的频谱（傅里叶级数的系数）：\(a_k=\frac{1}{N}X(e^{j\omega})|_{\omega=k\omega}\)。

采样信号

\[ X(e^{j\omega})= \begin{cases} 1,\ \ \ |\omega|\lt W\\ 0,\ \ \ W\lt|\omega|\leq\pi \end{cases} \]

有傅里叶正变换：

\[ \begin{aligned} x[n] &=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W}e^{j\omega n}d\omega\\ &=\frac{\sin Wn}{\pi n}\\ &=\frac{W}{\pi}\text{Sa}(Wn)\\ &=\frac{W}{\pi}\text{Sinc}(\frac{Wn}{\pi}) \end{aligned} \]

常数信号

\[ x[n]=1 \]

因为：

\[ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\delta(\omega)\cdot e^{j\omega n}d\omega&=1\\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}2\pi\cdot\delta(\omega)\cdot e^{j\omega n}d\omega&=1 \end{aligned} \]

对 \(2\pi\delta(\omega)\) 以 \(2\pi\) 为周期进行周期延拓，得到 \(x[n]=1\) 的傅里叶正变换为：

\[ X(e^{j\omega})=2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi l) \]

周期信号

FT 公式推导

对连续时间信号，有 \(e^{j\omega_0 t}\stackrel{CTFT}{\longleftrightarrow}2\pi\delta(\omega-\omega_0)\) ，由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况

但对于 \(x[n]=e^{jk\omega_0 n}\) ，由于离散时间傅里叶变换是以 \(2\pi\) 为周期的，因此频域的冲激应该是周期性的冲激串（周期延拓），也就是：

\[ X(e^{j\omega})=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-k\omega_0-2\pi l) \]

将反变换积分范围包含 \(\omega_0\) ，可以得到：

\[ \begin{aligned} x[n] &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega\\ &=\int_{\omega_0-\pi}^{\omega_0+\pi}\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega n}d\omega\\ &=e^{j\omega_0 n} \end{aligned} \]

于是对于表示为傅里叶级数的离散时间周期信号：

\[ x[n]=\sum_{k=\langle N\rangle}a_{k}e^{jk\omega_0 n},\ \ \ \omega_0=\frac{2\pi}{N} \]

就有（傅里叶正变换）：

\[ \begin{aligned} X(e^{j\omega})=\mathscr{F}\{x[n]\} &=\sum_{k=\langle N\rangle}a_{k}\cdot\mathscr{F}\{e^{jk\omega_{0}n}\}\\ &=\sum_{k=\langle N\rangle}a_{k}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-k\omega_0-2\pi l)\\ &=2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\sum_{k=\langle N\rangle}a_{k}\delta(\omega-k\omega_0-lN\omega_0)\\ &=2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\sum_{k=0}^{N-1}a_{k}\delta(\omega-(lN+k)\omega_0)\\ &=2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\ \sum_{lN+k=lN}^{lN+N-1}a_{lN+k}\delta(\omega-(lN+k)\omega_0)\\ &=2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\ \sum_{lN+k=lN}^{lN+N-1}a_{lN+k}\delta(\omega-(lN+k)\omega_0)\\ &=2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}a_{k}\delta(\omega-k\omega_0) \end{aligned} \]

可以发现 DTFT 与 CTFT 形式一致

性质

若 \(x[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j\omega})\) ，则有以下性质成立：

周期性

\[ X(e^{j(\omega+2\pi)})=X(e^{j\omega}) \]

线性

\[ x[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j\omega})\ \ ,\ \ y[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}Y(e^{j\omega}) \Rightarrow ax[n]+by[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}aX(e^{j\omega})+bY(e^{j\omega}) \]

时移特性

\[ x[n-n_0]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j\omega})e^{-j\omega n_0} \]

频移特性

\[ x[n]e^{j\omega_0 n}\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j(\omega-\omega_0)}) \]

时域反转

\[ x[-n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{-j\omega}) \]

共轭对称性

\[ x^*[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X^*(e^{-j\omega}) \]

特别地，当 \(x[n]\) 是实信号(实函数)，则有频谱: \(X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})\) 为共轭偶函数（实幅偶，虚相奇）

共轭偶函数：

• 实部是偶函数：\(\text{Re}[X(j\omega)]=\text{Re}[X(-j\omega)]\)；
• 虚部是奇函数：\(\text{Im}[X(j\omega)]=-\text{Im}[X(-j\omega)]\)；
• 幅度是偶函数：\(|X(j\omega)|=|X(-j\omega)|\)；
• 相位是奇函数：\(\text{Arg}X(j\omega)=-\text{Arg}X(-j\omega)\)；

奇偶对称性

Abstract

与 CTFT 的奇偶对称性一致

• 偶信号的傅里叶(正)变换还是偶函数
• 实偶信号的傅里叶(正)变换还是实偶函数
• 奇信号的傅里叶(正)变换还是奇函数
• 实奇信号的傅里叶(正)变换是虚奇函数

用表格总结奇偶性、是否为实函数的不同情况下的傅里叶正变换奇偶情况：

\(x[n]\)	偶函数:\(x[n]=x[-n]\)	奇函数:\(x[n]=-x[-n]\)
一般的	\(X(j\omega)=X(-j\omega)\)	\(X(j\omega)=-X(-j\omega)\)
实函数:\(x[n]=x^*[n]\)	\(X(j\omega)=X(-j\omega)=X^*(j\omega)=X^*(-j\omega)\)	\(X(j\omega)=-X(-j\omega)=X^*(-j\omega)\)

时域差分特性

\[ x[n]-x[n-1]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}(1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega}) \]

时域累加特性

\[ \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}\frac{X(e^{j\omega})}{1-e^{-j\omega}}+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k) \]

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Abstract

时域差分与累加特性说明：离散时间傅里叶变换中的 \(1-e^{-j\omega}\) 对应于连续时间傅里叶变换中的 \(j\omega\)。

时域内插

信号的时域特性与频域特性之间有一种相反的关系

定义：

\[ x_k[n]= \begin{cases} x[\frac{n}{k}], &\text{n为k的整数倍}\\ 0, & \text{其他n} \end{cases} \]

则有：

\[ x_k[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{jk\omega}) \]

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证明:

\[ \begin{aligned} X_k(e^{j\omega}) &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_k[n]e^{-j\omega n}\\ &=\sum_{r=-\infty}^{+\infty}x_k[rk]e^{-j\omega rk}\\ &=\sum_{r=-\infty}^{+\infty}x[\frac{rk}{k}]e^{-j\omega rk}\\ &=\sum_{r=-\infty}^{+\infty}x[r]e^{-jk\omega r}\\ &=X(e^{jk\omega}) \end{aligned} \]

频域微分

\[ -jnx[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} \]

Parseval 定理

\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega \]

卷积特性

\[ x[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j\omega})\ \ ,\ \ h[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}H(e^{j\omega}) \Rightarrow x[n]*h[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}) \]

该卷积性质使离散时间 LTI 系统的频域分析非常便利。本质上，卷积性质的成立仍是因为复指数信号 \(e^{j𝜔n}\) 是一切离散时间 LTI 系统的特征函数，\(H(e^{j\omega})\) 则是对应的特征值。

相乘特性

如果：

\[ y[n]=x_1[n]\cdot x_2[n] \]

则：

\[ \begin{aligned} Y(e^{j\omega}) &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta\\ &=\frac{1}{2\pi}X_1(e^{j\omega})\otimes X_2(e^{j\omega}) \end{aligned} \]

因此上述卷积称为周期卷积，因为 \(X_1(e^{j\omega})\) 和 \(X_2(e^{j\omega})\) 都是以 \(2\pi\) 为周期的

离散时间 LTI 系统的分析

频域分析法

并非所有的 LTI 系统都存在频率响应！一般只考虑稳定的 LTI 系统的频率响应，因为此时 \(h[n]\) 绝对可和，离散时间傅里叶变换（即频率响应）\(H(e^{j\omega})\) 存在。

Abstract

与连续时间 LTI 系统的频域分析法基本一致

根据卷积特性, 可以对 LTI 系统进行频域分析, 其过程为:

1. 求出（或已知、根据系统描述直接得出）系统单位冲激响应 \(h[n]\)；
2. 求输入 \(x[n]\) 的傅里叶正变换：\(x[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}X(e^{j\omega})\)；
3. 求单位冲激响应 \(h[n]\) 的傅里叶正变换：\(h[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}H(e^{j\omega})\)；
4. 若需要求 \(Y(e^{j\omega})\) ，由傅里叶变换卷积特性得：\(Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\)；
5. 若需要求 \(y[n]\)：
6. \(x[n]\) 是非周期的（或非周期部分）：
   • 往往由傅里叶反变换求得：\(y[n]=\mathscr{F}^{-1}\{Y(e^{j\omega})\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} Y(e^{j\omega}) e^{j\omega t}d\omega\)；
   • 对有理函数求傅里叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行
7. \(x[n]\) 是周期的（或周期部分）：
   • \(|Y(e^{j\omega})|=|X(e^{j\omega})|\times|H(e^{j\omega})|\)；
   • \(\text{arg}Y(e^{j\omega})=\text{arg}X(e^{j\omega})+\text{arg}H(e^{j\omega})\)；

线性常差分方程

*线性常系数差分方程

对于由线性常差分方程描述的 LTI 系统：

\[ \sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k] \]

对方程两边进行傅里叶变换，有：

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{-jk\omega}Y(e^{j\omega}) &= \sum_{k=0}^{M}b_{k}e^{-jk\omega}X(e^{j\omega})\\ Y(e^{j\omega})\sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{-jk\omega} &= X(e^{j\omega})\sum_{k=0}^{M}b_{k}e^{-jk\omega}\\ {Y(e^{j\omega})\over X(e^{j\omega})} &= {\sum_{k=0}^{M}b_{k}e^{-jk\omega}\over\sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{-jk\omega}} \end{aligned} \]

由 DTFT 卷积特性有：

\[ Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}) \]

可得：

\[ H(e^{j\omega})={Y(e^{j\omega})\over X(e^{j\omega})}={\sum_{k=0}^{M}b_{k}e^{-jk\omega}\over\sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{-jk\omega}} \]

可见由线性常系数差分方程描述的 LTI 系统的频率响应是一个有理函数。

若要求 \(h[n]\) ，也就是系统的单位冲激响应，则往往可以对有理函数（有理分式）形式的 \(H(e^{j\omega})\) 变形化得到常用变换对的表示形式，再利用常用变换对反变换得到 \(h[t]\) 。

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反之，若已知一个 LTI 系统的频率响应 \(H(e^{j\omega})={Y(e^{j\omega})\over X(e^{j\omega})}\) ，则可以列出两侧分别是关于 \(Y(e^{j\omega})\) 和\(X(e^{j\omega})\) 的方程，两侧同时进行傅里叶反变换，（注意将 \(e^{j\omega}\) 视为一个整体）则可得到描述该 LTI 系统的线性常系数微分方程